Глава 2 дифференциальное исчисление функций одной переменной § 2.1. производная функции в точке

Глава 2 дифференциальное исчисление функций одной переменной § 2.1. производная функции в точке: Математика в экономике Часть 2, Солодовников А.С., 2000 читать онлайн, скачать pdf, djvu, fb2 скачать на телефон Во второй части учебника изучаются математический анализ функций одной и нескольких переменных, выпуклый анализ, ряды и дифференциальные уравнения. Для преподавателей и студентов экономических вузов и факультетов, бизнес-школ, колледжей.

Глава 2 дифференциальное исчисление функций одной переменной § 2.1. производная функции в точке

Определение производной. Пусть функция у =J{x) определена в некоторой окрестности точки x0. Для любой точки X из этой окрестности приращение Ах определяется формулой Ах = х х0, откуда х = х0 + Ах

Приращением функции у =j{x) в точке xQ называется разность

АУ = Ах) -fix,) = fix, + Ах)fix,).

Производной от функции у =fix) в точке х0 называется преАу

дел отношения —, когда Дх->0 (при условии, что предел отношения -~ существует).

Производная функции у =fix) в точке х0 обозначает/(х0) или f'(x0). Если'необходимо указать, какая переменная является независимой (в данном случае х независимая переменная), то используются обозначения:

следует понимать как произ 

y"dx'dx. . '

Например, выражение — [ х + — ]

dx V х)

водную функции у = х + -і в точке х0= 2.

5* 67

Определение производной можно записать в виде формулы

/Ч*о)=Ц»£-Цш /(*о+А*)-/(*о)

дх->оДх ді-»о Ах v 7

Конечно, предел (2.1) может не существовать. В этом случае говорят, что функция/х) не имеет производной и в точке х0. Если предел (2.1) равен +оо или -ао, то говорят, что функция fx) имеет в точке х0 бесконечную производную (равную +оо или -оо, соответственно).

Пример 2.1. Рассмотрим функцию fx) = С (const). Для любой точки х0 приращение Ау = 0. Поэтому

С = lim — = О

Пример 2.2. Пусть f(x) = х. Для любой точки хй приращение Ау = Дх. Поэтому

, Ау Ах

х = lim — = lim — = 1 л»-»0 Ах Дх

Пример 2.3. Пусть f(x) = lfx Для любой точки х0*0 находим производную

/'(*о)= lim 7 = lim =

Дї->0 Дх ;r-»:r0 х-х0

і і -!

= lim Т7= ; r== = TJco •

^oijx2 +^хх0+]]х2 3

Если же дс0 = 0, то

/'(0)= lim lim = , 1 =+оо.

ді->о Дх аі-»о з/сдх)2

Физический смысл производной. Для произвольной функции Дх) рассмотрим динамическую систему: точка Р движется по координатной прямой Оу таким образом, что в каждый момент времени х ее координата у =fx). Пусть А точка координатной прямой Оу, в которой точка Р находилась в момент времени х0, В точка, в которой точка Р находилась в момент х0 + Ах > х0. Если точка Р двигалась по направлению из -оо в +оо, то fx0 + Ах) >fx0) и расстояние от А до В равно

/(х0 + Дх)-/(х0)= Ау.

Так как время, за которое точка Р переместилась из А в В, равно

Ау

Дх, то средняя скорость точки Р на отрезке АВ равна = .

Мгновенная скорость v (или просто скорость) точки Р в момент времени х0 это предел

Ау

v lim vCD = lim f'(x0).

Поэтому f'(x0) это мгновенная скорость точки Р.

Если же точка двигалась по направлению из +оо в -оо,

то /(х0 + Дх)</(х0), и расстояние от А до В равно

/(х0)f(x0 + Ах) = -Ау. В этом случае мгновенная скорость

v= lim =—^= -f'(x0). Откуда получаем/'(x0) = -v. ТакимобраДг-Л Дх

зом, физический смысл производной в том, что f'(x0) это мгновенная скорость (с учетом направления). В самых различных задачах (в том числе и экономических) производная функции У ~fx) интерпретируется как скорость изменения величины у относительно X.

Геометрический смысл производной. Рассмотрим определение производной с геометрической точки зрения. Пусть Г -график функции у =fx). Рассмотрим на Г точки А(х0, fx0)) и В(х0 + Ax,fx0 + Дх)) (рис. 2.1).

Прямая АВ называется секущей. Будем считать, что J{x) непрерывная функция. Тогда /(х0 + Ах) —> /(х0) при Ах —» 0, т.е. точка В стремится к А, когда Ах—>0.

Поскольку угловой коэффициент касательной к = f'(xQ), то уравнение касательной имеет вид

y = f(xQ) + f(x0)(x-xQ). (2.3)

Пусть Ч~^2.<(Р<^Ї)Угол наклона секущей А В относительно оси Ох. Если существует предел lim q> = <рй, то прямая, проходящая через А и образующая с осью Ох угол ip№ называется касательной к графику Г в точке А. Таким образом, касательная -это предельное положение, к которому стремится секущая АВ, когда Дх -> 0. Отметим, что вертикальная касательная может получиться в двух случаях:

л я

Пусть С(х0 + Ах, /(х0)) точка, дополняющая отрезок АВ до

прямоугольного треугольника ABC. Так как сторона АС этого треугольника параллельна оси Ох, то

Ау

Ъ<Р = Т(2-2) Ах

Переходя к пределу в левой и правой частях равенства (2.2) при Дх -> 0, получим

Ч<Р<

Поэтому геометрический смысл производной состоит в том, что f'(x0) это тангенс утла наклона касательной к графику

у =J{x) в точке (х0,/(х0)).

Уравнение касательной. Найдем уравнение касательной к графику Г функции>> = Дх) в точке Л(х0,/(х0)). Будем искать это уравнение в виде у = kx + Ъ. Так как А є Г, то должно выполняться равенство /(х0) = кх0 + Ь, откуда Ъ = /(х0) кх0. Следовательно, касательная задается уравнением

у = Ь + /(х0)-Ь0 =/(х0) + *(х-х0).

Пример 2.4. Найти уравнение касательной к графику функции у = }4х в точке (1; 1).

2

Решение. Так как (Vx) , = U*~3 = (смпри^Р 2-3), то уравнение касательной

Односторонние производные. Если в формуле (2.1) обычный предел заменить на односторонний, то получается определение односторонней производной. Правой производной от функции fix) в точке х0 называется предел

J+K 01 д^о+о Ах

Левой производной от функции f{x) в точке х0 называется предел

,,/ ч ,. /К + Аг)-/(х0)

/'(Х0)= ІШ1 •

Из свойств пределов функций следует, что в случае, когда функция/х) имеет правую и левую производные в точке х0 и они равны, то производная f'(x0) существует и /'(*о) = /+'(*о) = /-'(*о) ■ Если же /+'(*о) * Г(хо). то функция /х) не имеет производной в точке х0.

Пример 2.5. Показать, что функция /(х) = |х| не имеет производной в нуле.

Решение Имеем

|Дх| Ах: /;(0)= lim — = lim — =1, дг-»о*о Дх ді-»о*о Дд:

, ч |Дх| -Ах

/*(0)= lim = hm —— = -1.

4і->о-о Дх 4і-»о-о Дд:

Так как /ДО) * /_'(0), то функция М не имеет производной в нуле.

Вообще, для функции у = [Дх)| точки, где/= 0, будут, как правило, точками излома графика, и в них у' не существует.

Математика в экономике Часть 2

Математика в экономике Часть 2

Обсуждение Математика в экономике Часть 2

Комментарии, рецензии и отзывы

Глава 2 дифференциальное исчисление функций одной переменной § 2.1. производная функции в точке: Математика в экономике Часть 2, Солодовников А.С., 2000 читать онлайн, скачать pdf, djvu, fb2 скачать на телефон Во второй части учебника изучаются математический анализ функций одной и нескольких переменных, выпуклый анализ, ряды и дифференциальные уравнения. Для преподавателей и студентов экономических вузов и факультетов, бизнес-школ, колледжей.