Глава 2 дифференциальное исчисление функций одной переменной § 2.1. производная функции в точке
Глава 2 дифференциальное исчисление функций одной переменной § 2.1. производная функции в точке
Определение производной. Пусть функция у =J{x) определена в некоторой окрестности точки x0. Для любой точки X из этой окрестности приращение Ах определяется формулой Ах = х х0, откуда х = х0 + Ах
Приращением функции у =j{x) в точке xQ называется разность
АУ = Ах) -fix,) = fix, + Ах)fix,).
Производной от функции у =fix) в точке х0 называется преАу
дел отношения —, когда Дх->0 (при условии, что предел отношения -~ существует).
Производная функции у =fix) в точке х0 обозначает/(х0) или f'(x0). Если'необходимо указать, какая переменная является независимой (в данном случае х независимая переменная), то используются обозначения:
следует понимать как произ
y"dx'dx. . '
Например, выражение — [ х + — ]
dx V х)
водную функции у = х + -і в точке х0= 2.
5* 67
Определение производной можно записать в виде формулы
/Ч*о)=Ц»£-Цш /(*о+А*)-/(*о)
дх->оДх ді-»о Ах v 7
Конечно, предел (2.1) может не существовать. В этом случае говорят, что функция/х) не имеет производной и в точке х0. Если предел (2.1) равен +оо или -ао, то говорят, что функция fx) имеет в точке х0 бесконечную производную (равную +оо или -оо, соответственно).
Пример 2.1. Рассмотрим функцию fx) = С (const). Для любой точки х0 приращение Ау = 0. Поэтому
С = lim — = О
Пример 2.2. Пусть f(x) = х. Для любой точки хй приращение Ау = Дх. Поэтому
, Ау Ах
х = lim — = lim — = 1 л»-»0 Ах Дх
Пример 2.3. Пусть f(x) = lfx Для любой точки х0*0 находим производную
/'(*о)= lim 7 = lim =
Дї->0 Дх ;r-»:r0 х-х0
і і -!
= lim Т7= ; r== = TJco •
^oijx2 +^хх0+]]х2 3
Если же дс0 = 0, то
/'(0)= lim lim = , 1 =+оо.
ді->о Дх аі-»о з/сдх)2
Физический смысл производной. Для произвольной функции Дх) рассмотрим динамическую систему: точка Р движется по координатной прямой Оу таким образом, что в каждый момент времени х ее координата у =fx). Пусть А точка координатной прямой Оу, в которой точка Р находилась в момент времени х0, В точка, в которой точка Р находилась в момент х0 + Ах > х0. Если точка Р двигалась по направлению из -оо в +оо, то fx0 + Ах) >fx0) и расстояние от А до В равно
/(х0 + Дх)-/(х0)= Ау.
Так как время, за которое точка Р переместилась из А в В, равно
Ау
Дх, то средняя скорость точки Р на отрезке АВ равна = .
Мгновенная скорость v (или просто скорость) точки Р в момент времени х0 это предел
Ау
v lim vCD = lim f'(x0).
Поэтому f'(x0) это мгновенная скорость точки Р.
Если же точка двигалась по направлению из +оо в -оо,
то /(х0 + Дх)</(х0), и расстояние от А до В равно
/(х0)f(x0 + Ах) = -Ау. В этом случае мгновенная скорость
v= lim =—^= -f'(x0). Откуда получаем/'(x0) = -v. ТакимобраДг-Л Дх
зом, физический смысл производной в том, что f'(x0) это мгновенная скорость (с учетом направления). В самых различных задачах (в том числе и экономических) производная функции У ~fx) интерпретируется как скорость изменения величины у относительно X.
Прямая АВ называется секущей. Будем считать, что J{x) непрерывная функция. Тогда /(х0 + Ах) —> /(х0) при Ах —» 0, т.е. точка В стремится к А, когда Ах—>0.
Поскольку угловой коэффициент касательной к = f'(xQ), то уравнение касательной имеет вид
y = f(xQ) + f(x0)(x-xQ). (2.3)
Пусть Ч~^2.<(Р<^Ї)Угол наклона секущей А В относительно оси Ох. Если существует предел lim q> = <рй, то прямая, проходящая через А и образующая с осью Ох угол ip№ называется касательной к графику Г в точке А. Таким образом, касательная -это предельное положение, к которому стремится секущая АВ, когда Дх -> 0. Отметим, что вертикальная касательная может получиться в двух случаях:
л я
Пусть С(х0 + Ах, /(х0)) точка, дополняющая отрезок АВ до
прямоугольного треугольника ABC. Так как сторона АС этого треугольника параллельна оси Ох, то
Ау
Ъ<Р = Т(2-2) Ах
Переходя к пределу в левой и правой частях равенства (2.2) при Дх -> 0, получим
Ч<Р<
Поэтому геометрический смысл производной состоит в том, что f'(x0) это тангенс утла наклона касательной к графику
у =J{x) в точке (х0,/(х0)).
Уравнение касательной. Найдем уравнение касательной к графику Г функции>> = Дх) в точке Л(х0,/(х0)). Будем искать это уравнение в виде у = kx + Ъ. Так как А є Г, то должно выполняться равенство /(х0) = кх0 + Ь, откуда Ъ = /(х0) кх0. Следовательно, касательная задается уравнением
у = Ь + /(х0)-Ь0 =/(х0) + *(х-х0).
Пример 2.4. Найти уравнение касательной к графику функции у = }4х в точке (1; 1).
2
Решение. Так как (Vx) , = U*~3 = (смпри^Р 2-3), то уравнение касательной
Односторонние производные. Если в формуле (2.1) обычный предел заменить на односторонний, то получается определение односторонней производной. Правой производной от функции fix) в точке х0 называется предел
J+K 01 д^о+о Ах
Левой производной от функции f{x) в точке х0 называется предел
,,/ ч ,. /К + Аг)-/(х0)
/'(Х0)= ІШ1 •
Из свойств пределов функций следует, что в случае, когда функция/х) имеет правую и левую производные в точке х0 и они равны, то производная f'(x0) существует и /'(*о) = /+'(*о) = /-'(*о) ■ Если же /+'(*о) * Г(хо). то функция /х) не имеет производной в точке х0.
Пример 2.5. Показать, что функция /(х) = |х| не имеет производной в нуле.
Решение Имеем
|Дх| Ах: /;(0)= lim — = lim — =1, дг-»о*о Дх ді-»о*о Дд:
, ч |Дх| -Ах
/*(0)= lim = hm —— = -1.
4і->о-о Дх 4і-»о-о Дд:
Так как /ДО) * /_'(0), то функция М не имеет производной в нуле.
Вообще, для функции у = [Дх)| точки, где/= 0, будут, как правило, точками излома графика, и в них у' не существует.
Обсуждение Математика в экономике Часть 2
Комментарии, рецензии и отзывы