§2.5. дифференциал и приближенные вычисления

§2.5. дифференциал и приближенные вычисления

Определение. Дифференциалам функции fix) в точке х0 называется линейная функция приращения Ах вида f'(x0)Ax.

Дифференциал функции у =fix) обозначается ау или df(x0). Главное назначение дифференциала состоит в том, чтобы заменить приращение Ау на линейную функцию от Аде, совершив при этом, по возможности, меньшую ошибку.

Напомним, что наличие конечной производной f'(x0) влечет дифференцируемость (см. §2.2) функции f(x) в точке х0, т.е. возможность представить приращение функции Ау в виде

Ay = f'(x0)Ax + a(Ax)Ax, (2.17).

где а(Ах) —> 0 при Ах -> 0. Из формулы (2.17) следует, что ошибка в приближенном равенстве

Ау*ау (2.18) 6* 83

(равная а(Ах)Ах) является бесконечно малой более высокого порядка чем Дх, когда Дх -> 0. Равенство (2.18) часто используют в приближенных вычислениях.

Пример 2.14. Пусть г -радиус круга, S= л ■ г2 его площадь. Используя (2.18), получим AS^dS = 2лтАг, т.е. приращение площади круга приближенно равняется произведению длины его окружности на приращение радиуса.

Формулу (2.18) можно записать в виде равенства

f{xa + bx)*f(x0) + f(x0)Ax, (2.19)

которое также используется в приближенных вычислениях. Если х0 = 0, то Ах = х и равенство (2.19) приобретает вид

/(*) */(0)+ /'(<))*. (2.20)

Используя формулу (2.20), следует помнить, что величина |х| (так же как и |Дх| в (2.18), (2.19)) должна быть достаточно малой.

Пример 2.15. Пусть Дх) = Vl + x. Так как/'(0) = ~, то

при достаточно малых х имеем Vl + x ~ 1 + у*.

Если вместо /О) = Vl + jr взять функции (1 +х)а, е 1п( 1 +х) ИЛИ sin х, то получатся (проверьте самостоятельно!) следующие приближенные равенства:

( + х)а «1 + ссс, (2.21) ех« + х, (2.22) ln(l + x)*x, (2.23) sinx * х, (2.24)

в которых х «1.

Пример 2.16. Пусть г ставка банковского процента (за год). Найдем количество лет Т, в течение которых первоначальная сумма вклада увеличится в два раза. Так как за 1 год

ся в

вклад увеличивается в(] + j^q) раз, то за Глет вклад увеличит(l + -jjjjj) раз. Фактически нам необходимо решить уравне1 + 2. Логарифмируя это уравнение, получим

ТЫ 1 + — ] = 1п2. 100 J

Откуда Т= , ^—г-. Используя приближенное равенство (2.23), найдем f «ЖІЕІ jaK как In 2 я 0,7, то время удвоения

вклада будет («правило 70»)

г

Если, например, ставка процента 10\% годовых, то время удвоения вклада составит приблизительно 7 лет.

Итак, мы убедились, что дифференциал можно использовать в приближенных вычислениях. Сделаем теперь несколько замечаний, касающихся вычисления самого дифференциала.

Дифференциал константы равен нулю:

dC = С'Ах = 0.

Дифференциал независимой переменной х равен ее приращению:

dx = х'Дх = 1 • Дх = Дх.

Правила дифференцирования суммы, разности, произведения и частного функций (теорема 2.2) влекут соответствующие правила вычисления дифференциала:

d(u±v) = du±dv, (2.25) d(uv) = (du)v + u(dv), (2.26)

J u (du)v u(dv)

dU= -2 • (2-27)

Проверим, например, равенство (2.26). Действительно,

d(uv) = (uv) dx = (u'v + uv')dx = (du)v + u(dv).

Пример 2.17. Найти d(l + 2±*j. Решение.

Таким образом, данное выше определение МС, по существу, не противоречит другому распространенному определению, согласно которому МС = C'{q).

Пример 2.18. Пусть C(q) = 15009-2q2 + 0,002? Тогда дополнительные издержки, связанные с увеличением выпуска от q до q + 1, составят ДС = C(q + 1) С(<у), что приближенно равно

C'(q)= 1500 -4g + 0,006g2.

В табл. 2.1 даны значения ДС и C'(q) в точках q = 100, 200, 1000.

_ cosxAxx-sinxAx xcosx-sinx .

- ? = —J Ax.