Глава 3 дифференциальное исчисление функций нескольких переменных § 3.1. частные производные

Глава 3 дифференциальное исчисление функций нескольких переменных § 3.1. частные производные

Для упрощения записи мы ограничимся случаем функций двух переменных. Все дальнейшее справедливо, однако, и в том случае, когда число переменных равно трем, четырем и т.д.

Итак, пусть в некоторой окрестности точки (д:0, у0) определена функция z =j(x, у). Определим приращения переменных х и у формулами:

Ах = х-х0, Ау = у-у0.

Тогда любая точка (х, у) из окрестности точки (jc0, у0) может быть представлена как

(х,у) = (х0+Ах,у0 + Ау).

При изменении х от х0 до х0 + Дх (и постоянному у = у0) функция z изменяется на величину

Axz = f(x0 + Ах,у0)-/(х0,у0).

Эта разность называется частным приращением функции z по х. Частное приращение по у определяется аналогично:

Ayz = /(хо>Уо + Ау)-f(x0,y0) 

Определение. Частной производной функции нескольких переменных по одной из этих переменных называется предел отношения частного приращения функции к приращению соответствующей независимой переменной, когда это приращение стремится к нулю.

Частные производные функции z =j{x, у) в точке (х0, у0) обозначается так:

dz / z'x,—,/ї(х0,у0) (производная по х),

г'у>-ф>/і{хО'Уо) (производная по у).

Имеем следующие равенства:

= lim = lim A*b^>yo)-^Wo)> (3Л)

ді-+о Ax Ді->о Ax

Ayz Ах0,Уо + Ау-/(х0,у0)

z' = lim ——= lim . (J ■*■)

y Д>>-»0 Ay Ду-+0 Ay

Из определения частных производных следует, что для нахождения частной производной fx'(x, у) можно использовать правила дифференцирования функций одной переменной, считая константой у. Аналогично, для нахождения /у'(х, у) константой следует считать х.

Пр и мер 3.1. Найти частные производные функций:

a)z = —; б) z = ху.

У

Решение.

а) Считая у = const, находим z'x = —. Считая х = const, нахох у

дим z'y = -.

б) Производная zx'=yxy~* вычисляется как производная степенной функции (у = const). Производная z'= х у In х вычисляется

как производная показательной функции (х = const).

По аналогии с функциями одной переменной вводится понятие односторонней частной производной: правой (левой) частной производной функции называется предел отношения частного приращения цЪункции к приращению соответствующей независимой переменной, когда это приращение стремится к нулю справа (слева).

Для функции z =J(x,y) односторонние частные производные будем обозначать:

^ = /,'+(Wo) = I'm

Ajr-»0+0 Ax

v ' д*-»о-о Ax

Соответственно, частные односторонние производные по у будут обозначаться z'± или fy±(xa,y0). Так как частная производная фактически является обычной производной (с той лишь оговоркой, что все независимые переменные, отличные от той, по которой выполняется дифференцирование, считаются константами), то для существования частной производной, скажем z'x, в некоторой точке (х0, у0) необходимо и достаточно, чтобы в этой точке существовали и были равны обе односторонние производные:

Пример 3.2. Дня функции z = x-y найти множество точек, в которых одновременно существуют обе частные производные z'x и z'y.

[у = const), (х = const).

Решение . Используя правила дифференцирования функций одной переменной, находим при х *у

х-У х-у

_ У-х

"у V-A

Таким образом, обе частные производные существуют в каждой точке (х0, >-0), для которой х0 * у0. Если же х0= у0, то z = 0 и частные приращения, соответственно, равны Az =|Ах| и Ayz =Ау. Поэтому частные односторонние производные

N

z' = lim J—U±l, Ді-»о±о Ax

z'±= lim {-^= ±.

* Ді->0±0 Ду

Так как^+ Ф zx_ и z'y+ * z'y_, то во всех точках (х0, у0), для которых х0= у0, обе частные производные не существуют.