§ 3.3. достаточные условия дифференцируемости

§ 3.3. достаточные условия дифференцируемости

Напомним, что дифференцируемость функции одной переменной _у =Дх) в точке х0 равнозначна существованию конечной производной f'(x0). Поэтому можно предположить, что для функции двух переменных z -fix, у) дифференцируемость в точке (х0,у0) равнозначна существованию двух конечных частных производных /'х(дс0,у0) и f'y(x0,y0). Однако, как показывает пример функции

f{x,y) = -^-2 (х2 +У2* О), /(0,0) = 0,

это предположение не верно. Действительно, в точке (0; 0) частные приращения А/ и Az равны нулю при любых Дх и Ау. Поэтому частные производные z'x и z'y в точке (0; 0) существуют и

также равны нулю. Далее, при х = у *■ 0 функция z /(х, х) = ^,

в то время как ДО, 0) = 0. Таким образом, Дх, у) не стремится к Д0,0), когда х —» 0 и у —> 0, т.е. функция разрывная. Функция z =Дх, у) недифференцируема в точке (0; 0), так как, если бы она была дифференцируемой то, в силу теоремы 3.1, она была бы и непрерывной в этой точке.

Теорема 3.2 (достаточное условие дифференцируемости). Если частные производные f х(х,у) и f'y(x,y) определены в окрестности точки (х0, у0) и непрерывна в самой точке (х0, у0), то функция z = fix, у) дифференцируема в этой точке.

Доказательство. Рассмотрим в координатной плоскости Оху точки Р(х0, у0), Q(x0+ Ах,у0) и Л(х0+ Дх,^0 + Ау) (рис. 3.1). Пусть частные производные определены в некоторой f-окрестности точки Р и точка R принадлежит данной окрестности. Так как ^-окрестность точки Р это круг радиуса є с центром в Р , то отрезки PQ и QR, очевидно, целиком содержатся в этой окрестности. Следовательно, функция/(х, у) определена на отрезках PQ и QR.

Рис. 3.1

Представим полное приращение функции z =J{x, у) в точке (х0'Уо) в виде

Л* = f(R) f(P) = [/(Л) f(Q) + [/(Є) /(/>)} (3.8)

Так как на отрезке Р^? переменная у имеет постоянное значение у =у0, то функция fix, у) на отрезке PQ является фактически функцией одной переменной х. Применяя формулу Лагранжа, получим

/{<2)-/{р) = Л(А)Ах, (3.9)

для некоторой точки А из отрезка PQ. Аналогично, на отрезке QR функция fix, у) зависит только от_у. Поэтому на отрезке QR найдется точка В, для которой

f(R)-/{Q) = /;{B)Ay, (зло)

Учитывая равенства (3.9) и (3.10), запишем формулу (3.8) в виде Az = f:(A)Ax + f;(B)Ay.

Откуда получаем

ь* = [Л'И + Л{л) Л(р)]ах + [/;(/>) + /;(*) /;(р)]ау =

= /;(р)Ах + /;(р)Ау + aAx + рАу = dz + аАх + рАу,

где а = /'(А) /;(/>), р = /;(В) f;(P). Ясно, что при Дх -> 0, Ау —» 0, точки А и В стремятся к точке р. Так как частные производные непрерывны, то а -> 0 и р -> 0, когда Ах -> 0, Ау -> 0. Вместе сайр стремится к нулю и величина

_ аАх + рАу

Поэтому из равенства

Az = dz + + ^ J(Ax)2+(Ay)2=dz + sp

вытекает дифференцируемость функции z = іх,у) в точке (лс0,.у0). 160

Пример 3.5. Найти множество точек, в которых диффе3/4

ренцируемы функции: а) z = х у\; б) z (х2 + у2 ) Решение.

а) . Частные производные z'x и z' , найденные в примере 3.2,

определены и непрерывны во всех точках (х0, у0), для которых

х0*у0. По теореме 3.2 функция z дифференцируема в таких точках.

В других точках функция z недифференцируема, так как в них не

существуют частные производные г'т и г' . Искомое множество

можно записать так: R?\{x =у).

б) . Находим частные производные:

і „ і

Ux2+y2)<=^(х2+/р.

Эти функции являются элементарными и определены во всех точках, за исключением точки (0; 0). Вследствие теоремы 3.2 функция z дифференцируема во всех точках за исключением, быть может, точки (0; 0). Исследуем эту точку отдельно. Частные приращения будут Дхг = |х|312 иД}2 = |х|312. Следовательно,

АхШ Ы3/2

z' = lim J—!— = 0, z' = lim Ц-1— = 0

д»-»о Дх ' д>-»о Д>'

и дифференциал dz также равен нулю: dz = 0Ax + 0Ay = 0. Так как в точке (0; 0) и значение z = 0 и дифференциал dz = 0, то полное приращение можно записать следующим образом:

Az = z = dz + z = dz + £-p,

гдер = (х2 +у2У' є = (х2+/)"4 ->0, когда Дх ->0, Ау ->0. Поэтому функция z дифференцируема в точке (х0, yQ). Итак, множество всех точек, в которых функция z дифференцируема, есть R2.