§ 3.5. производная по направлению.

§ 3.5. производная по направлению.

Градиент

Пусть / = (1х; 1у) произвольный единичный вектор, т.е. такой вектор, что |/| = tJIx +1у =1.

Определение. Производной функции fix, у) в точке (дг0, у0) по направлению вектора I называется предел

<?/(*о.л) /(*• + '1"У«+ tlr)-f(x<»y°)

— = lim .

ді (->о+о /

df(xa,y0)

Говорят также, что ' это скорость изменения

функции в точке (х0, у0) в направлении вектора L 11* 163

Производная по направлению является обобщением понятия правой частной производной. Действительно, для векторов /, = (1; 0) и /2=(0; 1) имеем

д/{хо>Уо) ,. /{хо + 1>Уо)-/(хо>Уо) (

01 /-»0+0 / 4

д/(хо,Уо) ,. А*о*Уо + і)-/(*о>Уо) ґ, {

—Ті—= hm„ ; = /уАхо>Уо)Oly |-»0+0 / ' '

О

Пример 3.8. Найти производную функции z = х-у в точке (0;0) по направлению произвольного единичного вектора

Решение. Исходя непосредственно из определения, имеем

& г K-">|-I°l ,. I, ,1

— = lim am - L= »*-'«■

dl /-*с+о t і->о+о / 1 л

Пример 3.8 показывает, что функция может иметь в некоторой точке производные по любому направлению и, одновременно, не быть дифференцируемой в этой точке (см. пример 3.5а).

При постановке задачи об определении скорости изменения функции по направлению вектора / вместо единичного вектора / часто задается какой-либо ненулевой вектор v или ориентированная прямая L. В этом случае в качестве вектора / следует взять вектор / = |v|_1v, где v это либо заданный вектор, либо направляющий вектор прямой L. Легко доказывается, что координаты вектора / совпадают с косинусами углов, которые вектор v (прямая L) образует с соответствующими осями координат. Действительно, пусть, например, «-угол между вектором v и осью Ох, а/?-угол между v и осью Оу. Тогда

COSttJCOS

-О

v* a vy cos а = -Ну, cos р = yj

(рис. 3.2). Следовательно, / Ivj v

Если функция fix, у) дифференцируема в точке М(х0, уХ то при вычислении ее производной по направлению / в точке мвмеРис. 3.2

сто того, чтобы считать предел (как мы это проделали в примере 3.7) можно воспользоваться следующей теоремой.

Теорема 3.4. Производная дифференцируемой функции z =^ у) в точке (х0, у0) по направлению вектора I (/,; 1у) находится по формуле

Щ^-=/;(*о,л) ■+ /Л***) Л О -16)

или

dz

dl у у

Доказательство. Определим дифференцируемые (по І) функции qii) и цКі) формулами: qit) = х0+ tlx и y^t) = yQ+ tly. Положим

f(t) = f(<p{t), yr(t)) = f(x0 + tlxy0 + tly). По теореме 3.3 находим производную функции f(t) в нуле:

f>(o)=/;(р(о), у(о)У(о)+/;(^о), ^ (о)у'(о) =

= /;(WoK+/;(Wo)'r

С другой стороны

/-►О t /->0+0 /

. f(xu+tlx,ya+tly)-f(xu,yQ) df(xa,y0) (3-18)

_ ]im _ —

i->o+o / dl

Сравнивая равенства (3.17) и (3.18), получаем формулу (3.16).

Определение. Градиентом функции в точке Мназывается вектор, координаты которого равны соответствующим частным производным данной функции в точке М.

Так, для функции двух переменных fix, у) имеем

grad/(M) = (/;(M);/;(M)). Для функции трех переменных fix, у, z) имеем

grad/(M) = (/;(м);/;(л/);/;(м)),

и т.д. Используя градиент, формулу (3.16) можно записать короче:

^M(grad/(M),/), (3.19)

где (grad ДА/), Т) скалярное произведение векторов. Формула (3.19) отчетливо разграничивает роли двух факторов, от которых зависит производная по направлению: роль/и роль I.

Заметим, что ни количество аргументов функции /, ни длина вектора / не играют существенного значения при выводе формулы (3.19). Это обстоятельство будет использоваться в дальнейшем, поэтому запишем более удобный вариант формулы (3.19) для функции /от п переменных и произвольного вектора /. Положим P{t)=fiM+ tl), где М, I eR" .Тогда выполняется следующее равенство:

F'(0) = (grad/(A/),/). (3.20)

Пример 3.9. Найти производную функции z = х^у6 в точке (1; 1) по направлению вектора v = (3; -2).

Решение. Вектор v задает единичный вектор

Градиент z в точке (х, у) равен (z'x; z'y) = (Sx^y6; 6*У). Поэтому grad z( 1,1) = (5;6). Используя формулу (3.19), находим

Пусть Лфг0, у0) точка, в которой вычисляется градиент функции^*, у), <р угол между векторами grad /(А/) и /. Так как

(grad/(M),/) = |grad/(A/)| -|/| cos?,

а / единичный вектор, то из формулы (3.19) вытекает равенство

^ = |8П*/(л4со.*

Из этого равенства следует, что производная по направлению принимает наибольшее значение при cos q> = 1, т.е. когда векторы grad fiM) и / имеют одинаковое направление. При этом

^ = Н/(М)|.

31

Вывод: градиент указывает направление наискорейшего роста функции, а максимальная скорость роста равна модулю градиента.