Глава 6 дифференциальные уравнения § 6.1. общие понятия и примеры
Глава 6 дифференциальные уравнения § 6.1. общие понятия и примеры
Различные вопросы математики, естествознания, экономики приводят к необходимости решения уравнений, содержащих в качестве неизвестной некоторую функцию у(х), наряду с которой в уравнении присутствуют и ее производные до некоторого порядка п. С одним из наиболее простых таких уравнений, уравнением вида y'=f(x), мы уже встречались в интегральном исчислении. Его решением является неопределенный интеграл от Дх). Приведем другие примеры таких уравнений:
у'+2у = х2;у"'+у' = 0;у"=ху.
Определение 6.1. Уравнение, связывающее независимую переменную х с неизвестной функцией у(х) и ее производными до некоторого порядка п включительно, называется дифференциальным уравнением п-го порядка.
Таким образом, приведенные выше уравнения являются примерами дифференциальных уравнений соответственно первого, третьего и второго порядков.
Любое дифференциальное уравнение может быть записано в виде
F(x, у, у ',...,/">) = О, (6.1)
где F некоторая заданная функция, х независимая переменная, у(х) искомая функция, а у{х),..., у<пх) ее производные.
Определение 6.2. Решением дифференциального уравнения (6.1) называется функция у(х), имеющая производные до п-го порядка включительно, и такая, что ее подстановка в уравнение (6.1) обращает его в тождество
Например, решением уравнения у' = 2у, как нетрудно проверить, является функция у = еъ. Легко видеть, что решением этого уравнения будет также любая функция вида
у(х) = Се2*, (6.2)
где С произвольная константа. В дальнейшем мы покажем, что формулой (6.2) определяются все решения данного уравнения, или, как говорят, задается общее решение уравнения. Отметим, что в нашем случае общее решение зависит от произвольной константы С. Придавая ей определенные числовые значения, мы будем получать конкретные решения, или, как принято говорить, частные решения
Рассмотрим в качестве еще одного примера уравнение
у"=х. (6.3)
Имеем у' = — + С и далее
у'= ^+ Сх + С2, (6.4) 6
где С,, С2 константы. Очевидно, что при любых значениях С, и С2 полученная функция у будет решением уравнения (6.3), т.е. формула (6.4) задает общее решение уравнения (6.3). Оно, как видно, зависит от двух произвольных констант С, и С2. Придавая им конкретные значения, мы получаем частные решения.
В дальнейшем понятия общего и частного решения будут уточнены. Однако одно очень важное обстоятельство мы можем отметить уже сейчас, исходя из рассмотренных выше примеров:
дифференциальное уравнение имеет бесконечно много решений;
общее решение дифференциального уравнения зависит от произвольных постоянных, число которых равно порядку дифференциального уравнения;
частные решения получаются из общего путем придания конкретных значений этим постоянным.
Отметим также, что процесс нахождения решения дифференциального уравнения принято называть интегрированием этого уравнения, а график решения интегральной кривой данного уравнения.
Обсуждение Математика в экономике Часть 2
Комментарии, рецензии и отзывы