Лабораторная работа № 7 влияние фактора неопределенности на экономические расчеты 7.1. плавающая ставка процента

Лабораторная работа № 7 влияние фактора неопределенности на экономические расчеты 7.1. плавающая ставка процента

Рассмотрим три варианта начисления процентов за пользование деньгами в единичном промежутке:

в конце промежутка по ставке і начисляются проценты;

в конце промежутка начисляются проценты по случайной ставке, в среднем ставка равна і процентов;

проценты начисляются дважды: половина незадолго до конца промежутка и вторая половина на таком же временном расстоянии после окончания промежутка.

Первый вариант начисления процентов это вариант детерминированного финансового анализа, т.е. анализа в условиях определенности. Поэтому проанализируем второй и третий варианты. Достаточно ограничиться рассмотрением единичной денежной суммы.

Второй вариант. Пусть f(x) плотность распределения случайной ставки х, среднее значение которой равно i = M{x} =хf(x)dx. Тогда начисляемые процентные деньги на сумму Р есть случайная величина 1=Р-х с плотностью fix) и математическим ожиданием М{/} = М{Р -х}=Р і. Другими словами, детерминированный эквивалент процентных денег есть Р-1, а детерминированный эквивалент случайной ставки — это среднее значение ставки / = М{х}.

Рассмотрим третий вариант. Пусть первая половина процентных денег по ставке і начисляется в момент 1 є, а вторая половина, также по ставке і, в момент 1 + є, где є небольшое положительное число. Тогда в первый раз начисленные процентные деньги 1 = {Р/2)і, во второй раз также 1\% = (Р12) • /. Приведем эти суммы к моменту 1, для чего 1 умножим на (1 +/)Е, а /2 на (1 + /)-6. Получаем детерминированный эквивалент суммарных процентных денег в момент 1:

(Р/2)/-[(1+/)Е + (1 + /П.

Отсюда детерминированный эквивалент процентной ставки

Так как [(1 + if + (1 + ij*] >2, то получившиеся процентные деньги больше, чем Р • і, т.е. детерминированный вариант процентной ставки

Как можно представить второй и третий варианты? Пусть банк имеет много филиалов, относительно самостоятельных в части выплаты процентов. Второй вариант получается, когда все они начисляют проценты в конце промежутка, но сами проценты случайные, хотя в среднем по всему банку процентная ставка равна і (усреднение по географическому признаку). Третий вариант получается, когда в каждом филиале начисляются одни и те же проценты, но день начисления случаен. Такая случайность есть начисление процентов (неслучайных) в случайный момент времени (здесь усреднение по времени начисления процентов).

Итак, детерминированный эквивалент случайных процентов (второй вариант) равен математическому ожиданию случайной величины начисляемых процентов. Детерминированный эквивалент случайного во времени начисления процентов (третий вариант) больше, чем начисляемых не случайных процентов по ставке /.

Аналогичные выводы следуют по поводу различных вариантов дисконтирования к современному моменту будущих сумм. Рассмотрим три варианта выплаты займа (в долг взята сумма Р), взятого на единичный промежуток времени по ставке і процентов:

1) в конце промежутка выплачивается сумма Р • (1 + і) детерминированный вариант;

2) в конце промежутка выплачивается случайная сумма, в среднем

равная Р (1 + /));

3) сумма выплачивается дважды: половина незадолго до конца

промежутка и вторая половина на таком же временном расстоянии

после окончания промежутка.

Анализ, подобный приведенному выше, показывает, что во втором варианте средняя величина дисконтированных к современному моменту выплат равна Р; в третьем варианте средняя величина дисконтированных к современному моменту выплат оказывается больше, чем Р. Итак, для кредитора предпочтительнее третий вариант.

Все это хорошо известно финансистам и может быть выражено словами: если возможно, свой долг плати позже, долги себе собирай пораньше.

Общее понятие детерминированного эквивалента финансового показателя

Пусть / какой-нибудь финансовый показатель (ставка процента, доходность, срок окупаемости и т.п.), являющийся случайной величиной. Предполагается, что финансовая операция, показателем которой является f, может быть повторена большое число раз (теоретически, хотя бы мысленно, неограниченное число раз). Тогда детерминированный эквивалент финансового показателя / есть такое значение его в детерминированном финансовом анализе, которое дает в среднем тот же результат, что и он сам.

Часто детерминированным эквивалентом является математическое ожидание /

Случайные потоки платежей

Такие потоки могут быть весьма разнообразны:

полностью детерминированный поток моменты платежей и величины платежей полностью определены;

частично детерминированный поток полностью определены моменты платежей либо величины платежей и т.д.

Ограничимся рассмотрением двух примеров.

Пример 1. По договору в течение 5 лет в конце каждого квартала издательство переводит на счет автора случайную сумму денег (зависит от числа проданных книг). Предположим, что эта сумма равномерно распределена от 1000 до 1400 руб. Как найти современную величину этой ренты?

Решение. Так как момент платежей точно определен, то для расчетов можно заменить поток реальных платежей потоком их математических ожиданий и использовать соответствующую формулу из детерминированного анализа. Так как переводимая сумма равномерно распределена, то ее математическое ожидание есть середина промежутка распределения, т.е. 1200 руб. Для простоты пусть квартальная ставка сложных процентов і = 3\%, тогда искомая современная величина равна

1200 • а(20, 3) = 1200 14,877 = 17 862 руб.

Пример 2. Предположим, что платежи R следуют друг за другом через случайные промежутки времени, распределенные по показательному закону с параметром X > 0 (пуассоновский поток платежей). Найдем математическое ожидание современной величины такого случайного потока платежей.

Решение. Дисконтируем к современному моменту первый платеж. Для этого надо подсчитать интеграл

R • ](1 + /Г' • Xe^dt = R ■ ]а.є-'(Х+1п(1+/»Л = R ■ lim ]xe~,{-x+W+i))dt =

0 0 л->со 0

= r . lim f *: e-^+iKw» " 1 = .

л-*»^ X + ln(l + /) J X + ln(l + /)

Параметр X в показательном законе есть обратная величина к математическому ожиданию, и получаем, что X = 1 / Т, где Тсреднее время между платежами, и окончательно, что математическое ожидание современной величины первого платежа равно R / [1 + Т 1п(1 + /)].

Далее, так как промежуток времени между платежами распределен одинаково, то математическое ожидание современной величины второго платежа равно Rl[ + T 1п(1 + /)]2, третьего RI [1 + Т 1п(1 + /)] и т.д. Сумма всех этих величин и даст искомую величину. Поскольку 1 / [1 + Т 1п(1 + /)] < 1, то члены суммы есть члены бесконечно убывающей геометрической прогрессии, и значит вся сумма равна Rl Т 1п(1 + /).

В частности, при Т= 1 получаем R11п(1 + /). Заметим, что если бы поток был неслучайным и платежи следовали бы друг за другом через единичный промежуток времени, то современная величина такого потока была бы RІ і. Так как 1п(1 + /) < /, то современная величина случайной ренты больше, чем регулярной.

Потоки платежей со случайным временем платежа часто встречаются на практике. Например, таков поток платежей оплаты за квартиру -ведь редко кто платит за квартиру в строго определенный день. Если бы в примере 1 издательство переводило автору деньги за каждую проданную тысячу экземпляров книги, то получился бы поток неслучайных платежей в случайные моменты времени.

Еще одним важным примером случайного потока (неслучайных) платежей является поток выплат страховых сумм на случай смерти родственникам умершего. Анализом подобных потоков платежей занимается так называемая актуарная математика.