9.3. дюрация облигации
9.3. дюрация облигации
В общем виде дюрация определяется по формуле
D=£f,-Cy*/£c,V , (9.1) (=i i=i
где v — множитель дисконтирования по ставке доходности к погашению
г, т.е. v=—-—; С,,С2,—,С — платежи по облигации через моменты 1 + г
времени ti,t2,-,i„Срок гашения T=t„. В отличие от среднего срока облигации при расчете показателя «дюрация» в качестве весов принимаются не платежи, а их дисконтированные величины. Следовательно, при определении дюрации учитывается фактор времени. Таким образом, дюрация это средняя продолжительность платежей.
Поскольку в качестве ставки дисконтирования берется ставка доходности к погашению, то знаменатель — это рыночная цена облигации Р:
Р=1 СУ' = £ ———. (9.2)
,=1 ,=[ (1 + rf
С учетом этого соотношения люрацию облигации можно записать
(9.3)
Здесь С,.(0) — современная стоимость платежа, поступившего в момент времени U. Таким образом, весовыми оэффици нтами в формуле дю-рации являются отношения современных стоимостей каждого платежа
СЛО)
к рыночной цене Р(г), т.е. весовые коэффициенты —'- выражают доР(г)
лю рыночной цены облигации, которая будет получена через /, лет, і — 1,2,..., п. Сумма коэффициентов в формуле (9.3) равна единице:
££ИЩ=_і_£ _!_f_c^=1
Й Р(г) P(r)5 P(r)H(lt,f
Рассмотрим облигацию с периодической выплатой процентов один раз в конце года, погашаемую в конце срока Т. Для такой облигации дюрация определяется по формуле
D = —!=L .—_
P
где g купонная ставка; N номинал облигации; п количество периодов (количество купонных выплат).
Показатель «дюрация» обладает следующим замечательным свойством: облигации, имеющие одинаковую дюрацию, реагируют на изменение рыночной процентной ставки одинаковым образом. В связи с этим инвесторы при формировании портфеля облигаций стремятся включать в портфель облигации с одинаковой дюрацией. Этот метод называется иммунизацией портфеля и позволяет ограничить влияние будущих колебаний рыночной процентной ставки на ожидаемые доходы.
9.4. Связь дюрации с изменением цены облигации
Рассмотрим связь дюрации с относительным изменением цены облигации АР(г)1Р(г) при изменении ставки доходности г.
Предположим, что ставка доходности изменилась на Аг. Тогда стоимость облигации станет равной
/>(/• +Дг) = £ S . (9.4)
/=1 (1 + г + Аг)'1
Если Аг >0, то это означает увеличение процентных ставок, если Аг < 0 уменьшение. Приращение стоимости АР(г) = Р(г + Аг) Р(г) является положительной величиной при Аг < 0 и означает рост стоимости облигации при снижении процентных ставок на рынке. Отрицательное значение величины АР(г) = Р(г + Аг) Р(г) означает падение
цены облигации при увеличении процентных ставок на величину Аг > 0. Такой же смысл имеет знак относительного приращения стои-АР(г) „
мости облигации . Относительное приращение стоимости облигации при изменении процентных ставок на величину Аг равно
AP(r) = P(r + Ar)-P(r)
Р(г) Р(г)
где Р(г) и Р(г + Аг) рассчитываются по формулам (9.2) и (9.4).
Формула (7.4) позволяет получить точную оценку относительного приращения стоимости облигации. Рассмотрим приближенный способ оценки АР(г)
величины , не используя точных вычислений по формуле (9.5).
Считая Аг достаточно малым по абсолютной величине, получим по формуле Тейлора
АР(г) Р(г + Аг)Р(г) « Р'(г) ■ Аг или с учетом членов разложения второго порядка
АР(г) = Р(г + Аг)Р(г) * Р'(г) ■ Аг +1 Р"(г) ■ (Аг)2.
Члены более высокого порядка считаются незначительными при определении чувствительности цены облигации к изменению про-
Дюрация и показатель выпуклости облигации
107
центных ставок на рынке. Для относительных прира ений цены облигации имеем
АР(г) Р'(г)
— =——Д>(9.6)
Р(г) Р(г)
АР(г) P'(r) I P"(r), 7
или ——К—Ь>+ -L(br2_ (9.7)
Р(г) Р(г) 2 Р(г)
Из (8.2) получим
1 " С
Р'М— T^S'r—^-г
1+i-fi (1+rf
и р»=—Ц-і»,й+і)—
(1 + г)21.Г (1+г)'
Введем число
1.1 Р(г)
которое называется показателем выпуклости облигации. Тогла с учетом формулы (93) и (9.8)
Р'М I_f, с,(°) Р
P(r) 1 +гД ' Р(г) И-г'
W (l+r)2i.i ' Р{г) (ЦГ)! '
Подставим эти выражения в формулы (9.6) и (9.7) и для относительного изменения иены облигации получим
ДР(і-) Ьг
-i^-'-D Г9.9)
Р(г) 1+г
Проанализируем эти выражения. Так как чувствительность цены облигации к изменению процентных ставок характеризуется величиной
АР(г)
, то из (9.9) следует, что дюрация облигации оценивает чувствиР(г)
тельность цены облигации к изменению временной структуры процентных ставок. Следовательно, дюрацию облигации можно рассматривать как меру процентного риска облигации — чем больше дюрация, тем больше процентный риск облигации. Из формулы (9.10) следует, что, чем меньше С, тем лучше дюрация облигации оценивает чувствительность цены облигации к изменениям ставки доходности. Таким образом, показатель выпуклости облигации можно интерпретировать как показатель того, насколько точно дюрация облигации оценивает велиАР(г)
чину і—.
Р(г)
Таким образом, в момент г = 0 дюрация облигации является мерой ее процентного риска.
Обсуждение Математическая экономика
Комментарии, рецензии и отзывы