Лабораторная работа №10 портфель облигаций

Лабораторная работа №10 портфель облигаций

Поток платежей портфеля

Пусть имеется портфель из т видов облигаций без кредитного риска, цены которых в момент / = 0 равны соответственно Р, Pi, ...,Рт. По этим облигациям в моменты времени tt (/ = 1, 2, и) производятся платежи С/, где j = 1,2,..., т. Обозначим за Vj сумму, затраченную инвестором на приобретение облигацийу-го вида (/ = 1, 2,т). Тогда стоимость портфеля равна

т

V=2ZVj. У=1

Величина к = Vj IPs это количество облигаций /-го вида в портфеле.

Портфель облигаций обозначим за Yl(Vx,V2,...,Vm). Ожидаемый поток платежей от портфеля вычисляется по формуле

т

У=і

Таким образом, портфель П(^, V2,Vm ) в момент / = 0 можно рассматривать как одну облигацию без кредитного риска стоимостью V с потоком платежей Rx, R2, ...,R„ в моменты времени t, ti, ...,/„. По своим инвестиционным качествам портфель эквивалентен такой облигации.

Меры доходности портфеля

Для вычисления доходности портфеля T(yx,V2,...,Vm) используют

две характеристики:

средневзвешенную доходность портфеля гср;

внутреннюю ставку доходности гр.

Средневзвешенная доходность портфеля определяется путем усреднения доходностей по всем облигациям в портфеле:

т

'ср = £ xjdj .

Здесь Xj=Vj/V доля облигаций /-го вида в портфеле (Ёху=1)>

j=i

dj их внутренняя доходность. Недостатком этой характеристики является то, что она несет мало информации о потенциальной доходности портфеля.

Внутренняя ставка доходности гр это процентная ставка, по которой приведенная стоимость потока платежей по портфелю R,R2, -.,Rn в моменты tx, t2,t„ равна его рыночной цене К в момент г = 0:

v=—

(l + rp)'' (l + rp)'"

Внутренняя ставка доходности портфеля, хотя и лучше, чем средневзвешенная доходность портфеля, но имеет те же недостатки, что и внутренняя доходность облигации. Она предполагает, что платежи по портфелю реинвестируются по ставке, равной гр, а сам портфель держится до погашения.

10.3. Дюрация и показатель выпуклости портфеля

Дюрацией Dp и показателем выпуклости Ср портфеля облигаций YI(yx,V2,...,Vm) называется дюрация и показатель выпуклости облигации, эквивалентной портфелю.

Тогда

1 " R 1 » R

Dp = -T,ti—^-, cp = -2:^f + i)—і—,

V і=л (l + r)' V /=і +

где г — безрисковая (совпадает с внутренней нормой доходности) процентная ставка в момент г = 0.

10.4. Свойства дюрации и показателя выпуклости портфеля облигаций

1. Для дюрации и показателя выпуклости портфеля облигаций ЩУХ,V2,...,Vm) справедливы равенства

їй m

dр = Е XjDj , Ср = I xjc ,

j=i J r =

где Xj =Vjl V— доля облигаций /-го вида в портфеле, Dj vlCj — дюрация и показатель выпуклости облигаций /-го вида.

120

Лабораторная работа № W

2. Если Dp и Срдюрация и показатель выпуклости портфеля П(^,Г2,...,Гт),то

3. Если число D таково, что

min{DyJ < D < max{D,-J.

то всегда можно сформировать портфель, дюрация которого равна D (портфель с заранее заданным значением дюрации).

4. Пусть в момент формирования портфеля г 0 безрисковые процентные ставки для всех сроков одинаковы и равны г. Если сразу после формирования портфеля процентные ставки для всех сроков мгновенно изменились на одну и ту же величину Дг, то относительное изменение цены портфеля

или

(ЮЛ)

(10.2)

Возможность оценить изменение цены портфеля по этим формулам следует из того, что портфель можно рассматривать как одну облигацию, дюрация которой равна Dp, а показатель выпуклости Ср.

Из равенста (10.1) и (10.2) следует, что дюрацию портфеля облигаций Dp можно рассматривать как меру процентного риска портфеля, а показатель выпуклости Ср показывает, насколько точно дюрация оценивает этот риск. Чем меньше Ср, тем лучше Dp оценивает чувствительность цены портфеля к изменению рыночных процентных ставок. В связи с этим можно сформулировать следующую задачу: сформировать портфель облигаций с заданным значением дюрации D и наименьшим показателем выпуклости. Эта задача сводится к следующей задаче линейного программирования:

/= t-XjCj -»min;

їхЛ=Д

(10-3)

Xj >0, J=l,2 m.

Если заданное значение дюрации портфеля Dp удовлетворяет условию

min{Z)y} <Dp< max{£>,},

j j то задача линейного программирования (10.3) разрешима.

10.5. Стоимость инвестиции в портфель облигаций

Пусть Т лет срок, на который сформирован портфель облигаций (инвестиционный горизонт). Так как портфель можно рассматривать как эквивалентную облигацию, то по аналогии с понятием инвестиции в облигацию можно ввести понятие инвестиции в портфель в момент t.

Если в момент формирования портфеля / = 0 безрисковая процентная ставка равна г и после покупки портфеля остается неизменной до окончания срока Т, то V(r, t) планируемая стоимость инвестиции в портфель в момент t є [0, 7]. Если сразу после формирования портфеля процентная ставка изменилась и осталась на новом уровне F в течение всего инвестиционного периода, то V(T, t) — фактическая стоимость инвестиции в портфель в момент / є [0, 7]. Стоимости V(r, t) и V(T, f) рассчитываются, исходя из тех же принципов, что и в случае облигации. Тогда

V(r,t)= 2 R,(1 + /•)'"'< + £ —^-г; (Ю.4)

i-it,ut iV,>*(l + r)f

V(r,t)= Z Riil + r)'-'' + £ ,, (Ю.5)

i,ti<t iVi>t (1 + r)'

где R,R2, ...,R„ в моменты t, t2, ...,t„ ожидаемый поток платежей от портфеля.

Таким образом:

V(r,t) = Rt(r) + Pt(r);

vCr,i) = Rl(r) + Pt(r),

где R£r) и Rfcr ) результат реинвестирования к моменту t доходов от портфеля под ставку /или г соответственно; Р£г) иР^7)планируемая и фактическая рыночная стоимость портфеля в момент /.

V(r, і) и V(r, і) обладают теми же свойствами, что и планируемая и фактическая стоимости инвестиции в облигацию. Тогда

> 

V{r, 0 = V(r)(l + /•)'; V(r,t) = V(rXl + 7y.

где V{r) = V — цена покупки портфеля, V(r)оценка портфеля на момент t = 0, соответствующая новой процентной ставке сразу после t = 0.

10.6. Иммунизирующее свойство дюрации портфеля

Пусть Dp = Dp(r) дюрация портфеля облигаций в момент t = 0, когда безрисковая процентная ставка для всех сроков одинакова и равна г. Тогда в момент времени, равный дюрации портфеля, t = Dp, фактическая стоимость инвестиции в портфель не меньше планируемой, т.е.

V(r,Dp)>V(r,Dp)

(10.6)

для любых значений F. Это следует из того, что портфель n(VltV2,...,Vm) эквивалентен одной облигации без кредитного риска,

поэтому иммунизирующее свойство дюрации облигации переходит в иммунизирующее свойство дюрации портфеля.

Принцип формирования иммунизированного портфеля состоит в том, что для защиты стоимости портфеля от изменений рыночной процентной ставки необходимо, чтобы дюрация портфеля совпадала с его инвестиционным горизонтом. Таким образом, чтобы сформировать иммунизированный портфель с инвестиционным горизонтом Т лет, необходимо решить систему:

m

Z XjDj = T,

m

(10.7)

Y.Xj =1,

xj>0, /=1,2,m. Если срок портфеля /"удовлетворяет неравенству

min{Oy} <Т< max{Dj},

то по свойству 3 дюрации портфеля система (9.7) разрешима. Тогда дюрация портфеля, сформированного в соответствии с решением системы (9.7). совпадает с его инвестиционным горизонтом, DP=T и по формуле (9.6)

V{r,T)>V(r,T). 10.7. Варианты заданий

1. Имеются облигации трех видов с данными, приведенными в табл. 10.1.

Построить поток платежей от портфеля П(^,^,^).где ^-затраты на приобретение облигаций вида Bj,j = 1,2,3. Найти дюрацию и показатель выпуклости портфеля с параметрами Vl = V2=Vi^ 2000 (рыночную процентную ставку определить из условия задачи).

Решить аналогичную задачу, взяв данные из табл. 10.2.

124

Лабораторная работа № W

2. Дюрации пяти видов облигаций соответственно равны: 3; 3,5; 3,75; 4,2; 4.5 года, а их показатели вьглуклости 10, 12. 15, 20 и 25 годам. Сформировать портфель из этих облигаций с дюрацией, равной 4 годам и наименьшим показателем выпуклости, если доли облигаций х} < 0,2, *і Ї 0,2, х3 > 0,2. Для полученного значения показателя выпуклости портфеля оценить относительное изменение цены портфеля при изменении рыночной процентной ставки с 9 до 8\% годовых.

Решить аналогичную задачу, взяв данные из табл. 10.3.

3. Портфель составлен из облигаций трех видов. Купонные платежи гш облигациям производятся раз в год. Данные приведены в твбл. 10.4.

Определить средневзвешенную доходность портфеля ГТ(^,^2,^) для V — V2F3 = 100000 стоимостью 300 тыс. д.е. и внутреннюю ставку доходности.

Решить аналогичную задачу, взяв данные ич тебл. 10.5.

4. Инвестор через два года должен осуществить за счет своего портфеля платеж I млн д.е. Инвестор рассматривает возможности инвестирования в облигации двух видов А1 и А2. параметры которых приведены в табл. 10.6.

Процентные ставки на рынке одинаковы для всех сроков и составляют 10 \% годовых. Считая, что сразу после формирования портфеля процентные ставки поднялись до 11 \% сформировать иммунизированный портфель, позволяющий инвестору через два года выполнить его обязательство.

Решить аналогичную задачу, взяв данные из табл. 10.7.

5. В начальный момент времени безрисковые процентные ставки для всех сроков одинаковы и равны 8\% годовых. На рынке имеются два вида купонных облигаций, параметры которых приведены в табл. 10.8.

Инвестор формирует портфель облигаций стоимостью 1000 д.е. с инвестиционным горизонтом 3 года. Рассчитать стратегию иммунизации этого портфеля для следующего изменения процентных ставок: 9\% годовых сразу после формирования портфеля, 8 \% годовых — непосредственно после момента t = 1.

Решить аналогичную задачу, взяв данные из табл. 10.9.

б. В начальный момент времени безрисковые процентные ставки для всех сроков одинаковы и равны 10\% годовых. На рынке имеются два вида купонных облигаций со следующими параметрами, указанными в табл. 10.10.

Инвестор, располагая суммой 10 050 д.е.. желает сформировать портфель из указанных облигаций на 3 года. При покупке и продаже облигаций берутся комиссионные в размере 0.5 \%. Рассчитать стратегию иммунизации этого портфеля для следующего изменения процентных ставок: 9\% годовых сразу после формирования портфеля, 8 \% годовых непосредственно после момента / = 1.

Решить аналогичную задачу, взяв данные из табл. 10.11.

7. Через 1,2 и 3 года инвестору предстоят выплаты соответственно в размерах 400, 600 и 1000 д.е. На рынке имеются облигации А1 и А2 со следующими параметрами (см. таблицу 10.12):

Таблица 10 12

Рыночная ставка для всех сроков равна 5\% годовых. Сформировать портфель наименьшей стоимости, позволяющий инвестору:

выполнить его обязательства;

выполнить его обязательства при условии, что часть платежа, поступающего от портфеля, используется для выполнения обязательства через год.

Решить аналогичную задачу, взяв данные из табл. 10.13.

8. Реструктуризация государствен] дующим образом. Долг в сумме D = 1 выплачен 1 января 1995 года, преобразован в облигации, выпущенные под гарантии правительства. По этим облигациям государство начиная с 1 января 1995 года до 2007 года дважды в год выплачивает равные суммы. Для реструктуризации долга использовалась ставка (сложная) i" = 3 \% годовых. Какова сумма отдельного погасительного платежа?

Решить аналогичную задачу, взяв данные из табл. 10.14.