4.2. экстремумы функции. необходимые и достаточные условия экстремума. вторая производная и ее геометрическая интерпретация

4.2. экстремумы функции. необходимые и достаточные условия экстремума. вторая производная и ее геометрическая интерпретация

4.2.1. Понятие экстремума функции

Определение. Точка х0 из области определения функции Дх) называется точкой минимума этой функции, если найдется такая 8-окрестность (х0 8; х0 + 8) точки х0, что для всех х * х0 из этой окрестности выполняется неравенство Дх) >Дх0).

Определение. Точка х0 из области определения функции Дх) называется точкой максимума этой функции, если найдется такая 8-окрестность (х0 8; х0 + 8) точки х0, что для всех х * х0 из этой окрестности выполняется неравенство Дх) <Д*0).

Определение. Точки минимума и максимума называются точками экстремума, а значения функции в этих точках называются экстремумами функции. Рассмотрим график функции y=J[x), х є [a;b, (см. рис. 4.16). Точки х, и х3 являются точками максимума, а х2 и х4 точками минимума. Из рис. 4.16 видно, что минимум в точке х4 больше максимума данной функции в точке хг Это объясняется тем, что экстремум функции связан с определенной 8 окрестностью

точки экстремума, а не со всей областью определения функции. По этой причине употребляется термин "локальный экстремум", т.е.эк-стремум, связанный с данным местом. Этим же объясняется и тот факт.что точки а и b не относятся к точкам экстремума. Для них не существует 8 окрестности, принадлежащей области определения функции.

4.2.2. Необходимые условия существования экстремума

Необходимые условия существования экстремума дает теорема Ферма, которая известна по школьному курсу, поэтому мы приводим лишь ее формулировку.

Теорема Ферма. Если точка х0 является точкой экстремума функции ^Дх) и в этой точке существует производная/(х0), то/(х0)=0.

Эта теорема имеет простой геометрический смысл: касательная к графику функции y=J[x) в точке, удовлетворяющей условиям теоремы Ферма, параллельна оси абсцисс (см. рис. 4.2)

О

1

ушх

х

Рис. 4.3а

Определение. Точки, в которых производная функции обращается в нуль или не существует, называются критическими точками (первого рода).

Пример 1. Производная функции Дх) = х2 в точке х0=0 обращается в нуль и, как видно из рис. 4.3а, в этой точке данная функция имеет экстремум (минимум). Теорема Ферма дает лишь необходимое условие существования экстремума, но не достаточное.

Пример 2. Производная функции Дх) = х3 в точке х0 = 0 обращается в нуль, а экстремума в этой точке функция не имеет (см. рис. 4.36) Как показывают следующие примеры, и в тех критических точках, в которых производная не существует, функция также может иметь или не иметь экстремум.

Пример 3. Функция Дх) = |х| в точке х0 = 0 не имеет производной (см. рис. 4.3в). Однако, как видно из рис. 4.3в, в точке х0 = 0 она имеет экстремум (минимум).

Пример 4. Рассмотрим функцию Дх) = ]/х (см. рис. 4.3г). По графику видно, что в точке х0 = 0 данная функция экстремума не

1 1

имеет. Производная Дх) = (fx)' ~ (*1/3)' = т (•* "2/3) = 7з7=Р в

1 3 З^г

рассматриваемой точке не существует.

Таким образом, экстремум функции, если он существует, может быть только в критических точках. Однако не во всякой критической точке функция имеет экстремум. Чтобы выяснить, в каких критических точках функция имеет экстремум, рассмотрим достаточные условия существования экстремума.

4.2.3. Достаточные условия существования экстремума

Первое достаточное условие экстремума. Пусть функция у = Дх) непрерывна в точке х0 и в некоторой ее 8-окрестности имеет производную, кроме, быть может, самой точки х0. Тогда:

если производная f (х) при переходе х через точку х0 меняет знак с минуса на плюс, то х0 является точкой минимума.

если производная / (х) при переходе х через точку х0 не меняет знак, то в точке х0 функция Дх) не имеет экстремума.

Пример 5. Исследовать на экстремум функцию >^Дх)=(2х+ 1)(х-2)2/3.

Находим производную данной функции /'(х)=|0/з(х-1)(х-2)1/3.

Находим критические точки:

а) решая уравнение/' (х)= О, получим х = 1.

б) Дх) не существует при х = 2.

Следовательно, критические точки: х, = 1 и х2 = 2.

Методом пробных точек определяем знак производной в каждом из интервалов: (-«>; 1), (1; 2), (2; +<») (рис. 4.4) Имеем таким образом х, = 1 точка максимума, а х2 = 2 точка минимума.

Второе достаточное условие экстремума. Если функция у = Дх) определена и дважды дифференцируема в некоторой окрестности точки х0, причем / (х0) = 0, а/' (х0) Ф 0, то в точке х0 функция Дх) имеет максимум, если /' (х0) < 0, и минимум, если / " (х0) > 0.

Пример 6. Исследовать на экстремум функцию у= (х3)-2х2+Зх-4.

Находим производную/(х)=( ~ (х3)-2х2+3х-4)'=х2-4х+3.

Решая уравнение х2 4х + 3 = 0, находим критические точки: х{ = 1 и х2 = 3.

Находим вторую производную:/'(х) — (f(x))' = 2х 4.

Определяем знак второй производной в критических точках, для чего вычисляем/'(1) = -2 < 0 и/'(3) = 2 > 0. Следовательно, х, = 1 точка максимума, а х2 = 3 точка минимума.

Вычисляем максимальное и минимальное значения функции утаі=.Д1)=-8/з, ymj=f(b)—-A. Заметим, что в случае, когда вторая производная в критической точке обращается в нуль или не существует, второе правило нахождения экстремума с помощью второй производной неприменимо. В этом случае исследование функции на экстремум можно проводить по первому правилу.

Пример 7. Исследовать на экстремум функцию J[x) = х4 2.

Находим/(х) = 4Х3.

Решая уравнение 4х3 = 0, получаем критическую точку х = 0.

Находим/'(х) = 12x1

Вычисляем/'(0) = 0. В критической точке вторая производная обращается в нуль, поэтому исследование проводим по первому правилу. Так как /(х) < 0 при х < 0, а /(х) > 0 при х > 0, то в точке х = 0 данная функция имеет минимум, причем/^ = ДО) = -2.