4.5. исследование функций в экономике.

4.5. исследование функций в экономике.

Нахождение максимума прибыли

В качестве примера рассмотрим задачу выбора оптимального объема производства фирмой, функция прибыли которой может быть смоделирована зависимостью

n(q) = R(q) C(q) = q> Sq + 10

Находим производную этой функции

тг'(<7) = R'(q) C(q) = 2<? 8

Приравниваем производную нулю

л'(<7) = 2q 8 = 0 -+ qexlr = 4

Является ли объем выпуска, равный четырем оптимальным для фирмы? Чтобы ответить на этот вопрос, надо проанализировать характер изменение знака производной при переходе через точку экстремума.

Анализируем характер изменения знака производной

При q < qexir = 4 -> л'(<7) < 0 и прибыль убывает.

При q > q*xl = 4 -> n(q) > 0 и прибыль возрастает. Следовательно, в Точке экстремума qexlr = 4 прибыль принимает минимальное значение, и таким образом этот объем производства не является оптимальным для фирмы.

Принятие решения.

Каким же будет оптимальный объем выпуска для фирмы? Ответ на этот вопрос зависит от дополнительного исследования производственных мощностей фирмы. Если фирма не может производить за рассматриваемый период больше 8 единиц продукции (р(</=8) = р(</=0)= 10), то оптимальным решением для фирмы будет вообще ничего не производить, а получать доход от сдачи в аренду помещений и/или оборудования. Если же фирма способна производить за рассматриваемый период больше 8 единиц продукции, то оптимальным решением для фирмы будет выпуск на пределе своих производственных мощностей.

Из этого простого примера видно, насколько важно исследование функций для принятия оптимальных решений, а также для других экономических задач.

Вопросы к главе 4

Дайте определение производной.

Опишите геометрический смысл производной.

Сформулируйте правило вычисления производной суммы двух функций. Пользуясь этим правилом и определением производной, найдите f(x), если/{х)=х2+х.

Сформулируйте правило вычисления производной разности двух функций. Пользуясь этим правилом и определением производной, найдите f{x), еслиу(х)=5х2-2х.

Сформулируйте правило вычисления производной произведения двух функций. Пользуясь этим правилом и определением производной, найдите f(x), если/(х)=(х-2)(х+3).

Сформулируйте правило вычисления производной частного двух функций. Пользуясь этим правилом и определением производX 1

ной, найдите f(x), если fix) =

х + 4

Пользуясь формулами производных элементарных функций и правилами дифференцирования, вычислите производные следующих функций:

у=х*+5х3; у=х4 -х 6; у=1п(х); у=Ъх; у=е*.

Что означает дифференциал функции у от переменной х?

Как можно использовать понятие дифференциала для приближенных вычислений? Приведите пример такого использования в экономике.

Вычислите, на сколько примерно увеличилась сторона квадрата, если его площадь увеличилась с 4 см2 до 4,04 см2.

Сформулируйте достаточное условие возрастания (убывания) функции на отрезке.

Определите промежутки строгого возрастания (убывания) следующих функций:

у=2+х-х2; у=3х-х3; у=ех; у=Щх).

Дайте определение экстремума функции. Приведите пример использования понятия экстремума в экономике.

Сформулируйте достаточное условие экстремума.

Сформулируйте необходимые условия экстремума.

Исследуйте на экстремум следующие функции:

у=2+х+х2; у=(х-3)}у=х+-; у= l +

Что такое вторая производная?

Сформулируйте достаточные условия выпуклости (вогнутости) функции на отрезке. Приведите примеры экономических зависимостей, описываемых выпуклыми (вогнутыми) функциями.

Сформулируйте достаточное условие точки перегиба. Приведите пример экономической зависимости, описываемой функцией, имеющей точку перегиба.

Найдите промежутки выпуклости (вогнутости) и точки перегиба графиков следующих функций:

5

у=3х2-х3; у=х+х 3 у=п(+х2).

Постройте графики зависимости издержек и дохода от объема производства. Укажите на них значения объемов производства, при которых:

а) прибыль максимальна,

б) убытки максимальны.