12.2. понятие динамического равновесия в экономике. простейшая модель равновесия

12.2. понятие динамического равновесия в экономике. простейшая модель равновесия

В экономической теории важным является понятие равновесия, то есть такого состояния объекта, которое он сохраняет при отсутствии внешних воздействий. Задачи экономической динамики включают как описание процессов выхода к состоянию равновесия, так и процессов трансформации самого этого состояния под воздействием внешних сил. Рассмотрим простую экономическую систему в состоянии равновесия и опишем движение такой системы в непрерывном и дискретном случаях. В первом случае динамика системы описывается с помощью дифференциального уравнения, во втором разностного уравнения.

Дифференциальное уравнение связывает изменения показателя (пусть наша система описывается одним показателем x(t), или просто х) со скоростью его движения х, или х. Будем считать, что скорость изменения показателя х пропорциональна величине его отклонения от равновесного значения хе. Иными словами, чем дальше показатель отклонился от равновесного значения, тем быстрее он стремится вернуться к нему. Если в уравнении присутствует только первая производная х по времени, а сама связь линейна, то это линейное дифференциальное уравнение. Пусть оно имеет, например, следующий вид:

X = к(х X),

где ^-коэффициент. В этом уравнении кхе свободный член; без него уравнение х—кх называется однородным и его общее решение х — с Исходное неоднородное уравнение имеет частное решение х = хе (если величина х находится в состоянии равновесия), а общее его решение есть сумма любого частного решения и общего решения однородного уравнения, то естьх = х+с е*'. Учитывая, что при t = 0 величина х равна х(0), получаем с = х(0)-хе, и x(t) = x+(x(Q)-хе)е*'. Проверьте в качестве упражнения, что это решение удовлетворяет исходному уравнению. Если к < 0, то е*' -> 0 и равновесие устойчиво, то есть при отклонении величины x(t) от значения х она вновь стремится принять это значение. При к > 0 величина е*' -> оо и, соответственно, x(t) стремятся к бесконечности (если начальное состояние не совпадает с состоянием равновесия).

в дискретной ситуации, аналогичной уже описанной, может использоваться разностное уравнение xt = xt, + k(xti х), решением которого (проверьте!) является xt = хе + (х(0) х) (l+k)'. Это решение может быть найдено (аналогично непрерывному случаю) как сумма общего решения xt = с (1+к)' для однородного уравнения xt = (+k) xtи частного решения xt = хе для исходного разностного уравнения; с учетом xt = х(0) при t = 0. При к < 0 система в случае отклонения от хе будет двигаться в направлении хе, при к > 0 уходить еще дальше от него. Равновесие устойчиво при -2<к<0 и неустойчиво при к>0 или к<-2 (при к<-1 показатель х каждый раз "перескакивает" равновесное значение хе, причем при к<-2 слишком далеко, чтобы приблизиться в конце концов к хе).