15.3. таблицы распределений и их использование. примеры расчетов вероятности попадания в заданный интервал с помощью таблиц

15.3. таблицы распределений и их использование. примеры расчетов вероятности попадания в заданный интервал с помощью таблиц

15.3.1. Работа с таблицами стандартного нормального распределения

Для практического применения приведенных выше распределений к проведению статистических расчетов служат таблицы распределений. Рассмотрим использование таблиц распределений на примере нормального распределения.

Таблица функции распределения стандартного нормального рас1 1 -''

пределения на интервале (-оо, +оо) FJz) = ~T=Z J е 7* имеет вид

В приведенном фрагменте таблицы значения функции распределения приведены с точностью до пятого десятичного знака, а значения аргумента z до второго десятичного знака. В самом левом столбце таблицы приведены значения z от 0,0 до 4,0 с точностью до десятых долей, а в верхней строке таблицы приведены сотые доли Z-Значение функции распределения, соответствующее определенному значению аргумента z (например, 0,14), находится на пересечении строки с десятыми долями z (в данном примере 0,1) и столбца с сотыми долями z (в данном примере 4). В рассматриваемом примере оно равно 0,55567 и означает вероятность попадания случайной величины <;в полубесконечный интервал (-оо, 0,14). Эта вероятность равна 0,5 при z — 0, так как это значение делит область изменения случайной величины z на две равновероятные части, и стремится к единице при увеличении ZДля того, чтобы рассчитать вероятность попадания величины z в конечный интервал а < z < (3, следует воспользоваться формулой: Prob{a <Z < (3} = F($) F(a). Пусть, к примеру, а = 0,1, a р = 0,14. Тогда по таблице находим F(0,1) = 0,53983, a F(0,14) = 0,55567. Следовательно, искомая вероятность попадания величины г в интервал [0,1, 0,14) равна F(0,14) -F(0,1) = 0,55567 0,53983 = 0,01584.

Вспоминая, что стандартная нормальная величина z связана с

„ „ „ (х li)

исходной случайной величиной х соотношением z = -—jp—, мы

можем определить вероятность попадания произвольной нормально распределенной величины х в интервал а <х < b как вероятность

попадания стандартной нормальной величины z в интервал -—<

а

Z < b " м. Определяя последний интервал, мы можем рассчитать а

искомую вероятность с помощью таблиц так же, как в рассмотренном выше примере.

Отметим, что иногда в таблицах стандартного нормального распределения приведена не функция распределения, а величина 1 F^z) ~ f е ТЛ, определяющая вероятность попадания случайной величины Zb правый "хвост" распределения (интервал [г, +<»)) и изменяющаяся от 0,5 до 0 при изменении г от 0 до +оо или

величина ФДг) = FN(z) Уг = -— [ е zdt, определяющая вероятность попадания случайной величины Zв среднюю часть функции распределения (интервал [0, г)) и изменяющаяся от 0 до 0,5 при изменении z от 0 до +00.

Связь между собой трех вышеупомянутых функций показана на рисунке 15.5.

Для всех этих функций вероятность попадания случайной величины Zb заданный интервал рассчитывается как разность значений соответствующих функций на концах этого интервала.

15.3.2. Работа с таблицами /-распределения Стьюдента

В таблице функции распределения Стьюдента приводятся обычно, для различных чисел степеней свободы v, критические точки,

соответствующие приведенным в верхней строке таблицы вероятностям а попадания в правый "хвост" распределения. Иными словами, в приведенной ниже таблицы число а это вероятность превышения /-статистикой приведенного в таблице критического значения при соответствующем числе степеней свободы V. Таблица функции распределения Стьюдента имеет вид:

Критическая точка tvu (например, /|0(|„5) находится на пересечении строки с числом степеней свободы' (в данном случае v= 10) и столбца с заданной вероятностью (в данном случае a = 0,05). Из приведенной таблицы находим, что /|и(Ш = 1,812. Напомним, что критическая точка в данном случае имеет следующий смысл:

РгоЬ{/ > tvJ = a.

Отметим, что иногда таблицы распределения Стьюдента приводятся для двусторонних критических точек fva, определяемых из условия Prob{|r| > fvJ = a.

В силу симметричности распределения Стьюдента эти точки связаны с односторонними критическими точками соотношением fva = tva/v так как при заданной вероятности а попадания в оба "хвоста" распределения вероятность попадания в один из "хвостов" распределения будет в два раза меньше и равна а/2.

Кроме того, в некоторых таблицах распределения Стьюдента вместо малых чисел а (вероятностей попадания в "хвост" распределения) приводятся числа 1-а (вероятности попадания в интервал (-со, / а) для односторонних критических точек и в интервал -f,a, fva) для двусторонних критических точек).