20.4. задачи

20.4. задачи

В следующем месяце доход Матрены Акакиевны от реализации овощей с личного огорода составит 14 400 руб., но с вероятностью 0,5 она потеряет 4400 руб. из-за болезни. Кроме этой потери, других потерь полезности из-за болезни она не понесет. Функция полезности Матрены Акакиевны имеет вид U(W) = JW, где W— доход за вычетом любых потерь Матрены Акакиевны.

а) Какова премия за риск для Матрены Акакиевны? Приведите графическую иллюстрацию решения.

б) Выполните п. а) при снижении вероятности потерь из-за

болезни до 0,25.

Функция полезности Акакия Акакиевича имеет вид U(W) =

и его исходное богатство равно 100 руб. За цену в 100 руб. он может купить некий актив Z, который с вероятностью 1/20 принесет ему 10 000 руб. и с вероятностью 19/20 не принесет ни копейки.

а) Сравните ожидаемую стоимость актива Zc его ценой.

б) Решится ли Акакий Акакиевич на покупку данного актива?

в) Изменится ли его решение, если соседи по коммунальной

квартире предложат ему вступить в синдикат по совместному владению активом Z, включающий 10 партнеров с равными долями?

У инвестора имеется капитал в размере 60 000 долл. За сумму в 30 000 долл. он может открыть либо магазин видеотоваров, либо магазин спортивных принадлежностей. Нынешним летом прибыль от каждого из указанных магазинов зависит от погоды. При хорошей погоде магазин видеотоваров принесет 40 000 долл. прибыли, а магазин спортивных принадлежностей — 90 000 долл. прибыли. При плохой погоде прибыль магазина видеотоваров составит 80 000 долл., прибыль же магазина спортивных принадлежностей составит 30 000 долл.

а) Если вероятность плохой погоды равна 0,5, то какой вариант предпочтет инвестор, который не любит риска: открыть два однотипных магазина или два разнотипных магазина?

б) Какой вариант из названных в п. а) выберет инвестор, нейтрально относящийся к риску: два магазина спортивных принадлежностей, если вероятность хорошей погоды больше 0,5?

Менеджер магазина «Три толстяка» реализует мужские костюмы 60-го размера по цене 300 у.е. Если дела магазина пойдут хорошо, он может рассчитывать на продажу 100 костюмов за сезон, если плохо — 50. В случае заказа у поставщика 100 костюмов один костюм обходится ему в 180 у.е., а в случае заказа 50 костюмов — в 200 у.е. Если он закажет у поставщика 100 костюмов, а продаст лишь 50, то может вернуть оставшиеся 50 костюмов, получив по 90 у.е. за костюм. Менеджер считает, что вероятность продажи 100 костюмов, как и вероятность продажи 50 костюмов, равна 0,5. Какую сумму готов заплатить за точный прогноз продаж менеджер, который относится к риску нейтрально?

Иванов и Петров, члены дачного кооператива «Двое в соснах», — заядлые рыболовы с совершенно одинаковой функцией полезности фон Неймана—Моргенштерна вида

M=p<'5+(l-p)^20'5,

где W— количество пойманной рыбы.

а) Нарисуйте линии уровня данной функции полезности. Какого рода предпочтениям они соответствуют?

б) Предположим, что вероятность поймать одну рыбину составляет для каждого из рыболовов 1/10 и что поймать хотя бы две

рыбины ни один из двоих не в состоянии. Объединятся ли рыболовы в синдикат «Совместный риск»?

Фермер Захудалов должен решить, удобрять поле или нет. Прибыль его зависит не только от этого решения, но и от того, будут ли дожди, вероятность чего равна 0,5. Ниже приведены величины его прибыли (W) в у.е. в четырех возможных случаях:

Не удобрять Удобрять

поле поле

Дожди 16 25

Нет дождей 9 0

Станет ли Захудалов удобрять поле, если он имеет функцию полезности вида:

a) U(W) = JW; 6)U(W) = W; в) U(W) = W2!

Владимир Ильич хочет вступить либо в компартию, либо в демократическую партию. Коммунисты предлагают ему должность секретаря партячейки с еженедельным окладом 2 тыс. руб. в случае победы патриотических сил на выборах в Госдуму и 500 руб. — в случае поражения. Демократы предлагают ему должность секретаря-референта у лидера партии с еженедельным окладом 4 тыс. руб. в случае победы демократических сил на выборах и 400 руб. — в случае их поражения. Вероятность победы патриотов на выборах составляет 0,5 и равна вероятности победы демократов. Функция полезности фон Неймана—Моргенштерна для Владимира Ильича имеет вид U(M) = 300 4/М, где М — ежемесячный заработок в тыс. руб. (при MX)).

а) Помогите Владимиру Ильичу сделать правильный выбор.

б) Известный предсказатель Нострадам Глобус, которому Владимир Ильич безгранично верит, просит перечислять ему еженедельно 1 тыс. руб. от партийной зарплаты за точную информацию

о том, кто победит на выборах. Покупать информацию или нет?

Мавродий Гусиновский размышляет, куда вложить немалые средства, нажитые в результате успешно проведенной серии финансовых махинаций: в новую финансовую аферу или, на сей раз, просто в надежный банк? Годовой доход на вложение в банк составил бы 1600 тыс. руб., а годовой доход от вложений в очередную аферу зависит от того, будет ли принят новый закон о финансовых группах: в случае его принятия этот доход составит всего 400 тыс. руб., а в случае непринятия — 6400 тыс. руб. Если вероятность принятия такого закона равна 0,5, а функция полезности фон Неймана—Моргенштерна у Мавродия имеет вид U(W) = JfV, где W— годовой доход в тыс. руб., то:

а) Какую из альтернатив выберет Мавродий, если ему не удастся своевременно купить надежную информацию о том, будет ли

принят упомянутый закон?

б) Максимальная цена, которую согласился бы уплатить Мавродий за заблаговременную информацию о том, будет ли принят

упомянутый закон, составит 924 тыс. руб. Верно ли это?

в) Изменится ли выбор Мавродия, если ему удастся своевременно купить надежную информацию всего за 300 тыс. руб.? Каков будет достигаемый при этом уровень полезности?

(Расчеты проводить с точностью до второго знака после запятой.)

Молодой и перспективный менеджер Денис Николаевич планирует кругосветное путешествие, на которое намерен истратить 10 ООО долл. Полезность от путешествия есть функция его фактических затрат на него (У) вида U( Y) = In Y.

а) Если существует 25\%-ная вероятность того, что Денис Николаевич понесет в ходе путешествия материальные потери в размере 1000 долл., то какова ожидаемая полезность путешествия?

б) Предположим, что Денис Николаевич может застраховаться от потери 1000 долл., купив страховой полис, уплатив за это

«справедливую» премию в 250 долл. Какова его ожидаемая полезность в таком случае?

в) Какую максимальную сумму готов отдать Денис Николаевич за то, чтобы застраховать свои 1000 долл.?

У аспиранта Брокова имеется два варианта летних подработок: отправиться на Камчатку ловить краба или остаться в Москве и составлять компьютерные программы по договору с фирмой. Если он решит отправиться на Камчатку, то с вероятностью 0,8 сможет наняться матросом на судно, выходящее на ловлю краба, и тогда его заработок составит 4000 долл. за сезон, однако с вероятностью 0,2 по приезде он узнает, что вакансий матросов больше нет, и тогда ему придется довольствоваться местом мойщика посуды с заработком всего 1000 долл. за сезон. Если же он решит остаться на лето в Москве, то с вероятностью 0,2 ему удастся устроиться на работу высокооплачиваемого программиста, получающего 5000 долл. за сезон, однако с вероятностью 0,8 он получит лишь работу программиста, приносящую 2000 долл. за сезон. Функция полезности фон Неймана—Моргенштерна у Брокова имеет вид U = 200 100/С, где С— доход в тыс. долл.

а) Что бы вы посоветовали Брокову в указанных обстоятельствах — поехать на Камчатку или остаться дома?

б) Какой совет вы бы ему дали, если бы вероятность получить

высокооплачиваемую работу на Камчатке упала до 0,6?

( в) 1£ак вы думаете, согласился бы Броков заплатить 500 долл. за точную и своевременную информацию о том, сможет ли он (при исходных вероятностях) найти высокооплачиваемую работу на Камчатке?

г) Рассчитайте максимальную сумму, которую готов отдать

БрокоВ, чтобы знать, сможет ли он (при исходных вероятностях)

найти высокооплачиваемую работу на Камчатке.

Ответы

Ответы на тесты

1. в). 2 а). 3. г). 4. г). 5. д). 6. г). 7. г). 8. б). 9. д). 10. в). 11. б). 12. в). 13. б). 14. б). 15. а).

Ответы на некоторые задачи

1.а) 100 руб.; б) 75 руб.

а) два разнотипных магазина;

б) два магазина спортивных принадлежностей.

1750 у.е.;

а) нет; в) да.

а) вступить в компартию; б) покупать информацию.

а) аферу;

б) да;

в) нет; £/= 57,71.

а) 9, 1840;

б) 9, 1850;

в) 260 долл.

10. а) ехать на Камчатку;

б) остаться дома;

в) да;

г) ^36д^^і^(с точностью до целых).

.0