11.2.1.3. модель штакельберга

11.2.1.3. модель штакельберга

Stackelberg Н. von. Marktform und Gleichgewicht. Wien ; Berlin, 1934.

Модель асимметричной дуополии, предложенная Г. фон Шта-кельбергом в 1934 г.,16 представляет развитие моделей количественной дуополии Курно и Чемберлина. Асимметрия дуополии Штакельберга заключается в том, что дуополисты могут придерживаться разных типов поведения — стремиться быть лидером (англ. leader) или оставаться последователем (англ. follower). Последователь Штакельберга придерживается предположений Курно, он следует своей кривой реагирования и принимает решения о прибылемаксимизирующем выпуске, полагая выпуск соперника заданным. Лидер Штакельберга, напротив, не столь наивен, как обыкновенный дуополист Курно. Он настолько изощрен в понимании рыночной ситуации, что не только знает кривую реагирования соперника, но и инкорпорирует ее в свою функцию прибыли, так что последняя принимает вид

=f(4t,R,,(4i))(П-43)

А затем он максимизирует свою прибыль, действуя подобно монополисту.

Ясно, что в случае дуополии возможны четыре комбинации двух типов поведения.

Дуополист 1 — лидер, дуополист 2 — последователь.

Дуополист 2 — лидер, дуополист 1 — последователь.

Оба дуополиста ведут себя как последователи.

Оба дуополиста ведут себя как лидеры.

В случаях 1 и 2 поведение дуополистов совместимо, один ведет себя как лидер, другой — как последователь. Здесь не возникает конфликта и исход их взаимодействия стабилен. Случай 3 по сути представляет ситуацию дуополии Курно, оба дуополиста руководствуются своими кривыми реагирования, и исход их взаимодействия стабилен. Нередко поэтому говорят, что модель Курно — это частный случай модели Штакельберга.

А вот в последнем случае, когда оба дуополиста стремятся стать лидерами, каждый из них предполагает, что соперник будет вести себя в соответствии со своей кривой реагирования, т. е. как монополист Курно, тогда как на деле ни один из них не придерживается такого типа поведения. Исходом подобного взаимодействия становится неравновесие Штакельберга, ведущее к развязыванию ценовой войны. Она будет продолжаться до тех пор, пока один из дуополистов не откажется от своих притязаний на лидерство либо дуополисты вступят в сговор. Сам Штакельберг считал именно случай 4 наиболее обычным исходом дуополии. Рассмотрим возможные исходы подробнее.

Последователь Штакельберга, как уже было сказано, придерживается своей функции реагирования вида (11.11), (11.11*) или (11.12), (11.12*), а затем при определенном количественном решении соперника, представляющегося последователю лидером, приспосабливает свой выпуск к прибылемаксимизи-рующему уровню. Лидер понимает, что его соперник ведет себя как последователь, и при данной его функции реагирования определяет свой прибылемаксимизирующий выпуск. Поэтому в случае 4 каждый дуополист определяет максимум своей прибыли исходя из предположения, что он является лидером, а соперник — последователем. Если в результате прибыль лидера окажется выше прибыли последователя, дуополист выберет положение лидера, независимо от того, что решит соперник. В противном случае он выберет положение последователя.

Исходя из аналитической версии модели Курно (раздел 11.2.1.1.2), представим функцию прибыли лидера (11.43) для дуополиста 1, подставив в уравнение его прибыли (11.9) функцию реагирования дуополиста 2 (11.12*). Тогда (11.9) примет вид

лх = ад, bq bq{^~ -|) cqx, (11.44)

что после преобразований и перестановок дает

Приравнивая производную (11.45) по qx нулю, имеем

дкх о, с

(11.45)

bqx = О,

dqy

откуда

і а-с ,„ч

Это и есть оптимальный выпуск лидера Штакельберга. Он обеспечивает максимум его прибыли, поскольку условие второго порядка также выполняется (Ь > 0 по предположению). В силу симметричности ситуации, возникающей в случае 4, прибылемаксимизирующий выпуск дуополиста 2, тоже претендующего на роль лидера, также составит

92=^(11.46*)

(Верхний индекс I в (11.46) и (11.46*) означает прибылемаксимизирующий выпуск лидера).

Определим теперь прибылемаксимизирующий выпуск последователя Штакельберга, подставив (11.48*) в (11.12) и соответственно (11.48) в (11.12*):

, а-с 1 а-с а-с ,,, ,_ч

гі=-2Т"2-2Гв-4Г' (11-47)

а( -——c--±Zl (1147*1

92 " 2b 2 2b ~ 4b ■ ( }

(Верхний индекс f в (11.47) и (11.47*) означает прибылемаксимизирующий выпуск последователя).

Таким образом, прибылемаксимизирующий выпуск последователя, q( , вдвое ниже прибылемаксимизирующего выпуска лидера, q (і = 1, 2). Сравнив (11.48), (11.48*), (11.47) и (11.47*) с (11.17), заметим, что прибылемаксимизирующий выпуск лидера Штакельберга тот же, что и у дуополиста Курно, а последователя вдвое меньше, чем у последнего.

В случаях 1 и 2, когда один дуополист, неважно какой именно, ведет себя как лидер, а другой как последователь, их общий выпуск будет равен сумме либо (11.48) и (11.47*), либо (11.46*) и (11.47), т. е.

Подставив (11.48) в функцию рыночного спроса (11.6), найдем равновесную цену олигополии Штакельберга в ситуациях 1, 2. Она будет равна

Р = а_Ь^£)=^. (11.49) 4Ь 4

(11.48) и (11.49) — параметры равновесия Штакельберга.

Для того чтобы от равновесия перейти к неравновесию Штакельберга (от случаев 1 и 2 к случаю 4), определим сначала прибыли лидера и последователя. Это, между прочим, поможет нам понять стремление олигополистов Штакельберга именно к неравновесию. Подставим сначала значение q[ из (11.46) в (11.45). Прибыль лидера, если им окажется дуополист 1, составит

а-са-с Ь(а~ с)2 (а с)2 (а с)2 (а с)2

Л^—2 2Ь--2^Ь2~= -^Гь 8b~ = —8b-{П'б0)

Симметрично прибыль дуополиста 2, если тот окажется лидером, будет

<„.,„,>

Определим теперь прибыль последователя, подставив значения ql и qr в (11.9) и (11.9*). Если им окажется дуополист 1, то

- а-с (а-с2 (а-с(а~с а-с

_ (а с)2 о(а с)2 а(а с)2

4Ь 16Ь2 8b2 '

откуда после упрощений и перестановок получим

t (а ~ с)2

<"-б1>

Симметрично прибыль дуополиста 2, если он окажется последователем, будет

Сопоставив теперь (11.51) с (11.50), а (11.51*) с (11.50*), мы заметим, что прибыль лидера вдвое превышает прибыль последователя, будь то дуополист 1 или 2. Поэтому-то и тот и другой предпочтут оказаться лидерами. Но тогда их прибыли окажутся не максимальными, а, напротив, минимальными. Действительно, подставив значения прибылемаксимизирующих выпусков обоих стремящихся стать лидерами дуополистов, т. е.

(11.46) и (11.46*), в уравнение линейной функции спроса (11.6*), получим

( а — с а — с і

р = аЛ-2ІГ + ^Г) = с(11-52)

Это равенство цены предельным (и средним) затратам (р = с = МС = АС) означает, что прибыль дуополистов равна нулю, а это несовместимо со стабильным исходом. Таким образом, ситуация, разрешающаяся стабильным решением в модели Курно, обращается в неравновесие Штакельберга при некотором изменении предположений о поведении дуополистов. Ниже приведены основные параметры равновесия Шта-кельберга:

Выпуск Прибыль Рыночная

лидера последователя отрасли лидера последователя цена

а-с а с 3(а с) (а с)2 (а с)2 а + с

2Ъ 46 4Ь 8Ь 166 4

11.2.2. ЦЕНОВАЯ ОЛИГОПОЛИЯ

17 Жоэеф Бертран (1822-1900) — французский математик, профессор Политехнической школы в Париже, в 1862-1900 гг. член Коллеж де Франс. В 1883 г.

Традиционно экономисты принимают не цену, а количество (величину выпуска) в качестве управляемой (или стратегической) переменной предприятия. Действительно, при совершенной конкуренции, когда предприятия являются ценополучателями, величина выпуска, как мы видим, есть единственная переменная, управляемая самим предприятием. Напротив, при несовершенной конкуренции предприятие, как мы помним, может выбрать в качестве стратегической переменной либо выпуск, либо цену (но не то и другое одновременно). Модели Курно и Чемберлина базируются на традиционном подходе, полагающем выпуски дуополистов управляемыми переменными. Модель Курно (как более раннюю) неоднократно критиковали в этой связи, подчеркивая, что именно цена, а не выпуск является стратегической переменной. Едва ли не первым с такой критикой и предложением принять в качестве стратегической переменной цену выступил в 1883 г. французский математик Ж. Бертран.17

О Р, Р[ Р, О Pi

Дуополисты Бертрана во всем подобны дуополистам Курно, отлично лишь их поведение. Дуополисты Бертрана исходят из предположения о независимости цен, устанавливаемых друг другом, от их собственных ценовых решений. Иначе говоря, не выпуск соперника, а назначенная им цена является для дуополиста параметром, константой. Для того чтобы лучше понять отличие модели Бертрана от модели Курно, представим ее также в терминах изопрофит и кривых реагирования.

В связи с изменением управляемой переменной (с выпуска на цену) и изопрофиты, и кривые реагирования строятся в двухмерном пространстве цен, а не выпусков. Изменяется и их экономический смысл. Изопрофиты и кривые реагирования дуополистов Бертрана представлены на рис. 11.6. Здесь изопрофита, или кривая равной прибыли, дуополиста 1 — это множество точек в пространстве цен (Р1( Р2 ), соответствующих комбинациям цен Рх и Р2 , обеспечивающим

опубликовал (Journ. Savants. 1883. Sept. P. 499-508) критический обзор книги О. Курно и только что вышедшей книги Л. Вальраса, которых он считал «псевдоматематиками». По мнению многих, критика Бертрана стала затем основой позиции противников экономико-математических методов. Но в то же время Бертран предложил модель дуополии, базирующуюся на других допущениях, чем модель Курно.

этому дуополисту одну и ту же сумму прибыли. Соответственно изопрофита дуополиста 2 — это множество точек в том же пространстве цен, соответствующих комбинациям (соотношениям) цен Ру и Р2 , обеспечивающим одну и ту же прибыль дуополисту 2. Семейства таких кривых равной прибыли, или изопрофит дуополистов 1 (л, л, л, л ) и 2 (л, л, л, л), представлены на рис. 11.6. Изопрофиты дуополиста 1 выпуклы к оси его цены (Рх), а дуополиста 2 к оси его цены (Р2 ).

Такая конфигурация изопрофит означает, что дуополист 1 должен будет снизить цену до определенного уровня, например с Р{ до РЇ', чтобы сохранить свою прибыль неизменной (остаться на изопрофите л) в случае снижения дуопо-листом 2 своей цены с Р2 до Р2. Однако, если и после этого дуополист 2 продолжит снижать свою цену, дуополист 1 не сможет сохранить свою прибыль неизменной. Очевидно, что при сколь-либо более низкой, чем Р2, цене дуополиста 2 дуополист 1 должен будет перейти на более низкую, чем л, изопрофиту, а это означает, что величина его прибыли уменьшится. Чем ближе к оси цены лежит изопрофита соответствующего дуополиста, тем более низкий уровень равной прибыли она отображает.

Таким образом, при любом изменении цены дуополиста 2 существует единственная цена дуополиста 1, максимизирующая его прибыль. Эта прибылемаксимизирующая цена определяется самой низкой точкой наиболее высоко лежащей изопрофиты дуополиста 1. Такие точки (ех—е4 на рис. 11.6, а) по мере перехода к более высоким изопрофитам смещаются вправо. Это значит, что, увеличивая свою прибыль, дуополист 1 делает это за счет привлечения покупателей дуополиста 2, повышающего свою цену, даже если при этом дуополист 1 тоже увеличивает цену. Соединив наиболее низко лежащие точки всех последовательно расположенных изопрофит, мы получим кривую реагирования дуополиста 1 на изменения цен дуополистом 2 — Riify) на рис. 11.6, о. Абсциссы точек этой кривой представляют собой прибылемаксимизирующие цены дуополиста 1 при заданных ординатами этих точек ценах дуополиста 2. Соответственно линия R2(Pi) на рис. 11.6, б представляет кривую реагирования дуополиста 2 на множестве его изопрофит

Теперь, зная кривые реагирования дуополистов Бертрана, мы можем определить равновесие Бертрана как иной (по сравнению с равновесием Курно) частный случай равновесия Наша, когда стратегия каждого предприятия заключается не в выборе им своего объема выпуска, как в случае равновесия Курно, а в выборе им уровня цены, по которой он намерен реализовать свой выпуск. Графически равновесие Бертрана—Нэша, как и равновесие Курно—Нэша, определяется пересечением кривых реагирования обоих дуополистов, но не в пространстве выпусков (как в модели Курно), а в пространстве цен.

Равновесие Бертрана—Нэша представлено точкой В—N на рис. 11.7. Обратите внимание на то, что обе кривые реагирования Бертрана в отличие от кривых реагирования Курно (рис. 11.3) восходящие. Это значит, что цены дуополистов Бертрана имеют выраженную тенденцию к сближению в противоположность выпускам дуополистов Курно.

Равновесие Бертрана достигается, если предположе- ° Pi Pi Pi

ния дуополистов о ценовом Рчс. 11. 7. Равновесие дуополии Бер-поведении друг друга сбыватрана. ются. Если дуополист 1 полагает, что его соперник установит цену Щ (рис. 11.7), он в целях максимизации прибыли выберет, согласно своей кривой реагирования, цену Р/. Но в таком случае дуополист 2 может на самом деле установить на свою продукцию цену Р22, исходя из своей кривой реагирования. Если предположить (как мы это делали при рассмотрении равновесия Курно), что кривая реагирования дуополиста 1 круче, чем соответствующая кривая дуополиста 2, то тогда этот итеративный процесс приведет дуополистов к равновесию Бертрана— Нэша (т. е. в точку В—N на рис. 11.7), где их кривые реагирования пересекутся. Маршрут их конвергенции в точку В—N окажется подобен маршруту конвергенции выпусков дуополистов Курно, показанному стрелками на рис. 11.4. Поскольку продукция обоих дуополистов однородна, каждый из них предпочтет в состоянии равновесия один и тот же уровень ее цены. В противном случае дуополист, назначивший более низкую цену, захватит весь рынок. Поэтому равновесие Бертрана—Нэша характеризуется единой ценой, принадлежащей в двухмерном пространстве цен лучу, исходящему из начала координат под углом 45°.

Кроме того, в состоянии равновесия Бертрана—Нэша равновесная цена окажется равной предельным затратам каждого из дуополистов. В противном случае дуополисты, руководствуясь каждый стремлением овладеть всем рынком, будут снижать свои цены, а это их стремление может быть парализовано, лишь когда они уравняют свои цены не только между собой, но и с предельными затратами. Естественно, что в этом случае общая отраслевая прибыль окажется нулевой. Таким образом, несмотря на исключительную немногочисленность продавцов (в дуополии их лишь двое), модель Бертрана предсказывает, по сути дела, совершенно конкурентное равновесие отрасли, имеющей строение дуополии.18

Пусть, как и в модели Курно (11.6), рыночный спрос представлен линейной функцией Р = а bQ , где Q = + q2. Тогда обратная функция спроса будет

Q = Ql+qi=j-^P. (11-53)

Такой исход нередко называют парадоксом Бертрана.

Если при данной цене дуополиста 1, Рх > МС, дуополист 2 устанавливает цену Р2 > МС, остаточный спрос дуополиста 1 будет зависеть от соотношения цен Рх и Р2. А именно при Рх > Р2, <7j = 0 все покупатели, привлеченные более низкой ценой, перейдут к дуополисту 2. Напротив, при Рх < Р2 весь рыночный спрос окажется захваченным дуополистом 1. Наконец, в случае равенства цен обоих дуополистов, Рх = Р2, рыночный спрос окажется поделенным между ними поровну и составит (a/b 1/b Р) 0.5 для каждого.

На рис. 11.8 функция спроса дуополиста 1 отображена имеющей разрыв (АВ) кривой спроса DP2ABD'. Если дуопо-лист 2 установит цену Р2, то спрос на продукцию дуополиста 1 окажется нулевым, что соответствует вертикальному сегменту (DP2) его кривой спроса. При Рх = Р2 рынок будет поделен поровну (сегмент Р2А будет принадлежать дуополисту 1, а сегмент АВ дуополисту 2). Наконец, если дуополист 1 ответит на Р2 снижением своей цены ниже этого уровня, он захватит весь рынок (сегмент ДО'). Из рис. 11.8 также видно, что каждое из предприятий-дуополистов может оставаться рентабельным, понемногу снижая цену с целью увеличения своей доли рыночного спроса до тех пор, пока не будет достигнуто равенство

МС,

(11.54)

которое и характеризует состояние равновесия Бертрана— Нэша.

Таким образом, в отличие от модели Курно, предсказывающей достижение совершенно конкурентного результата лишь по мере увеличения числа олигополистов, а именно когда п/(п + 1) приближается к единице, модель Бертрана предрекает совершенно конкурентный результат сразу же при переходе от монополии одного продавца к дуополии. Причина этого кардинального различия выводов в том, что каждый дуополист Курно сталкивается с нисходящей остаточной кривой спроса, тогда как дуополист Бертрана — с кривой спроса совершенно эластичной по цене соперника, так что снижение цены оказывается прибыльным, пока она остается выше предельных затрат. В табл. 11.2 приведены равновесные выпуски и цены, предсказываемые моделями Курно и Бертрана, а также моделями монополии и совершенной конкуренции.

После изучения моделей Курно и Бертрана, предсказывающих при п = 2 существенно разные исходы, у вас возникнет естественный вопрос, чья модель «лучше», «правильнее», словом, какую из них следует использовать при анализе олигополии. Прежде чем попытаться ответить на него, подумаем вот над чем. Мало того, что дуополисты Курно и Бертрана «наивны» и не способны корректировать свое поведение под влиянием опыта или, как часто говорят, не способны к «научению делом» (англ. learning by duing), они наделены еще одним, удобным для построения модели, но очень нереалистичным, свойством — их производственные мощности буквально «безразмерны» и способны сжиматься и расширяться, как резиновые. Ведь дуополисты могут, не неся никаких дополнительных затрат, свободно варьировать объем своего выпуска от нуля до величины, равной всему рыночного спросу. При этом их предельные и средние затраты остаются неизменными, какая-либо экономичность или неэкономичность от масштаба отсутствует. Ввести в модель Бертрана ограничение мощности предложил Ф. Эджуорт.

11.2.2.2. МОДЕЛЬ ЭДЖУОРТА

Согласившись с критикой модели Курно Бертраном, Ф. Эд-жуорт предложил модель ценовой дуополии с ограничением на величину производственной мощности дуополисР'С тов.19 На рис. 11.9 это ограничение представлено абсциссой вертикально восходящего сегмента кривой МС (затраты на производство дополнительной — сверх огра/>, ничейного масштаба мощности — единицы продукР ции бесконечно велики) qk. Как видно из рис. 11.9, мощности каждого дуополиста ограничены половиной рыночного спроса при цене, равной предельным затратам, qh = Q(P s МС)/2. Поэтому, если каждый из них установит начальную цену равной предельным затратам (Pj = Р2 = МС ), их совместный выпуск как раз и покроет совокупный рыночный спрос, Q(P = МС).

19 Edgeworth F. Papers Relating to Political Economy. London, 1925. Vol. 1. P. 111-142. См. также: Ntchol A. Edgeworth's Theory of Duopoly Price // Econ. Journ. 1935. Vol. 45. March. P. 51-66; Schublc M., Levltan Я Market Structure and Behaviour. P. 64-65. Обсуждение модели Эджуорта см.: Чемберлин Э. Теория монополистической конкуренции. С. 70-81.

Фрэнсис Исидоро Эджуорт (1845-1926) — британский экономист и статистик, профессор политической экономии в Королевском колледже (1881-1891) и Оксфордском университете (1891-1922), президент Королевского статистического общества (1912-1914), член Британской академии наук (с 1903 г.). Одним из первых ввел в экономическую теорию кривые безразличия. С его именем также связаны такие понятия экономической теории, как «коробка Эджуорта» и «контрактная кривая» (см. главу 16).

Если теперь дуополист 1 несколько повысит свою цену, тогда как дуополист 2 сохранит цену Р2 = МС, все покупатели захотят перейти к нему вследствие более низкой цены. Однако — ив этом отличие модели Эджуорта от модели Бертрана — он не сможет покрыть более половины рыночного спроса, поскольку именно такова его производственная мощность. Разочарованные неспособностью дуополиста 2 удовлетворить их спрос по относительно более низким ценам покупатели вынуждены будут обратиться к дуополисту 1. Столкнувшись с остаточным спросом (Q(P & МС) qh), последний сможет максимизировать свою прибыль, действуя как монополист в отношении этого остаточного спроса. Его предельные затраты уравниваются с предельной выручкой в точке А, что предполагает установлением им прибылемаксимизирующей цены Pj, при которой выпуск составит qx = Q(P = МС)/4 .

В ответ на это дуополист 2 повысит свою цену до уровня чуть ниже Pj, цены дуополиста 1, с тем чтобы привлечь к себе его покупателей. Однако из-за ограниченности своей производственной мощности дуополист 2 сможет покрыть спрос лишь в объеме Ql qx = 2/3 Qj = QX(P = MC)/2 . Продавая по чуть более низкой, чем у дуополиста 1, цене вдвое больше продукции, дуополист 2 получит, вероятно, и вдвое большую прибыль. Тогда дуополист 1 в свою очередь снизит цену до уровня чуть ниже, чем цена дуополиста 2. Словом, они попытаются опередить друг друга в снижении цен. Попытки заработать на снижении цены будут продолжаться, пока она не достигнет уровня

P = MC + (Pj-MC)|i. (11.55)

Дуополисты будут рассуждать примерно так. Если я снижу свою цену до Р, что чуть ниже цены соперника, я смогу продать максимально возможный для меня объем выпуска, qk. С другой стороны, если я увеличу свою цену до Pj, я_смогу продать лишь qx единиц продукции. При какой цене Р моя прибыль окажется точно такой же, как и при цене P^l Ответ на этот вопрос можно получить, решив относительно Р уравнение

(Рх -MC)9l = (P-MC)q. (11.56)

(11.55) и есть решение (11.56). _

Но как только цена действительно упадет до Р, выгодным для любого дуополиста вновь становится повышение цены до Рг, и весь ценовой цикл повторится. Таким образом, модель Эджуорта не предрекает никакого статичного равновесия. Скорее это некая «ценовая ловушка», попав в которую дуополисты втягиваются в нескончаемую ценовую войну, в которой падения цен чередуются с их всплесками.