15.1. простой обмен в двухсубъектной двухпродуктовой экономике

15.1. простой обмен в двухсубъектной двухпродуктовой экономике

Представим себе экономику, в которой нет производства, состоящую из двух субъектов, А и В, изначально наделенных комбинациями двух благ, X и У, в количествах (Х°, Уд) и соответственно (Хв, Yg). Здесь нижние индексы соответствуют субъектам А, В, а верхний индекс означает изначальные количества благ, которыми они наделены. Предположим также, что предпочтения субъектов А и В отвечают аксиомам рационального потребителя (раздел 3.2). Это значит, что для А и В существуют карты безразличия, удовлетворяющие известным условиям: гладкие и непрерывные кривые безразличия, убывающие нормы предельного замещения и т. д. Оба субъекта преследуют цель максимизации индивидуальной полезности. Наша задача в том, чтобы определить условия, при которых этой цели достигает каждый субъект.

На рис. 15.2 точка SA представляет изначальное положение (статус-кво) А, наделенного Х°А единицами блага X и Уд единицами блага У. При отсутствии обмена А должен будет удовольствоваться уровнем полезности, соответствующим кривой безразличия UA, к которой принадлежит точка SA (ХА, YA). Если субъекты А и В могут обмениваться благами, у каждого из них появляется возможность увеличить уровень своего удо

влетворения (или полезности), перейдя на более высокую кривую безразличия. Очевидно, что эта возможность зависит от норм обмена благами X и У.

Мы знаем из раздела 3.3, что оптимум потребителя достигается в точке касания его бюджетной прямой и кривой безразличия. Однако наша модель представляет экономику простого обмена, или бартерную экономику, в которой не существует денег. А значит, и нормы обмена благ X и У не являются их денежными ценами, которые мы в разделе 1.3 определили как нормы обмена товаров на деньги. Тем не менее мы будем использовать бюджетное ограничение, предполагая существование неких идеальных воображаемых денег.как средства счета.

15.1.1. КРИВАЯ ПРЕДЛОЖЕНИЯ

Обсуждение модели мы начнем с построения кривой предложения (ОС; oiler curve — англ.), которая имеет здесь специфическое, не встречавшееся нам ранее значение предложения из запаса.

Введем сначала понятие ценности набора благ X, У. Бели принять их идеальные цены Рх и Р°, то ценность изначального набора составит, очевидно,

М° =X°AP^+Y°P°, (15.1) где М0 можно интерпретировать как бюджет субъекта А. Бели

же цены благ X и У будут Рх и Ру, его бюджет составит

М1 =XAPx+Y°APy, (16.2)

так что М1 М°. Мы знаем из раздела 3.3, что бюджетное уравнение (16.1) может быть представлено и в виде

(16.3)

После подстановки (15.1) в (15.3) и упрощения получим

YA=Y°A-&(XA-X°A). (16.4)

Это значит, что YA = YA, если ХА = ХА, и что наклон бюджетной прямой — Рх/РуСоответственно при ценах Рх и Ру уравнение бюджетной прямой имеет вид

YA=Y°-&(XA-X°A). (16.5)

И вновь изначальный набор субъекта А оказывается принадлежащим бюджетной прямой. Изменился лишь наклон этой прямой, он стал теперь (по абсолютной величине) равен соотношению цен Рх/Ру вместо Рх/РуТаким образом, мы установили, что бюджетная прямая в любом случае проходит через точку, представляющую изначальное наделение благами X и У субъекта А, и что при разном соотношении цен наклон бюджетной прямой окажется разным. Чем «дороже» («дешевле») X относительно У, тем более крут (полог) наклон бюджетной прямой. Важно подчеркнуть, что наклон бюджетной прямой характеризует соотношение относительных цен, а не их абсолютные значения. Если абсолютные цены обоих благ будут удвоены или, напротив, вдвое уменьшены, наклон бюджетной линии не изменится. Две из множества возможных бюджетных пря

М1

Наклон =-Р\%/Р$ 1 М°

мых показаны на рис. 15.3. Обе они проходят через точку SA, характеризующую изначальное наделение субъекта А благами X и Y. Взаимное расположение линий М и М1 отражает тот факт, что соотношение цен Рх/Ру по абсолютной величине выше соотношения Рх/РуРнс. 15Я. Бюджеты субъекта А, обеспечивающие одинаковую ценность изначального набора 5 при разных соотношениях цен благ X и Y.

Теперь, когда мы представляем карту безразличия субъекта А, изначально наделенного набором благ У°), и пучок бюджетных прямых, обеспечивающих неизменную ценность этого набора при разных относительных ценах благ, мы можем построить его кривую предложения благ к обмену.

Обратимся к рис. 15.4, а, на котором представлено семейство кривых безразличия субъекта А (Г7° ^л)Изначальное наличие благ представлено точкой SA, лежащей на низшей

кривой безразличия U°A. Если относительные цены благ харак-

теризуются бюджетной прямой МА, которая касается кривой безразличия UA именно в точке SA, то последняя и будет характеризовать оптимум субъекта А. В этом случае он откажется от обмена со вторым субъектом нашего менового хозяйства, ибо такой обмен ухудшит его положение. С другой стороны, если относительная цена блага X окажется ниже, так что соотношение цен X и У будет отображаться бюджетной прямой М (вместо МА), касающейся более высокой кривой безразличия UA в точке А, наш субъект согласится обменять YAYA единиц блага У на ХАХ блага X. Это позволит ему получить большую полезность в точке А, принадлежащей кривой безразличия U, чем в точке SA, лежащей на более низкой кривой безразличия Г/". Если цена X относительно цены У будет и далее снижаться, так что бюджетная прямая будет и дальше поворачиваться вокруг точки SA от МА до МА, субъект А сможет достигать все более высоких кривых безразличия, а его оптимум будет смещаться из А в Б и затем в С.

Множество точек {SA, А, В, С, ...) касания кривых безразличия и бюджетных прямых, проходящих через точку SA и имеющих разный наклон, образует кривую предложения блага У из его начального запаса YA к обмену на благо X. На рис. 15.4, а ОСд и есть его кривая предложения. Важно заметить, что в нашей двухпродуктовой экономике кривая предложения блага У, ОСА , есть в то же время и кривая спроса субъекта А на благо X. Это прямо следует из того, что она представляет множество оптимальных для субъекта А наборов благ X и У при снижении цены X относительно цены Y.

На рис. 15.4, б показана кривая предложения субъекта

В, ОСд. Она, как видим, имеет иную По сравнению с ОСд

конфигурацию. Изначальный набор SB, которым обладает

В, содержит «слишком много» блага X и «слишком мало»

блага У по сравнению с набором SA, которым был изначально наделен субъект А. Действительно, Хв > ХА, а У° < У°, в

чем легко убедиться, сравнив структуры наборов SA и SB на

рис. 16.4, а и 15.4, б. Можно предположить, что при данном

семействе кривых безразличия субъекта В (U1 Г/3) снижение относительной цены блага У (повышение относительной цены блага X) побудит В к обмену некоторого количества X на некоторое количество У. Так, при переходе от бюджетной прямой Мв к прямой Мв субъект В согласится выменять у А YBYB единиц блага У за Х°ВХВ единиц блага X. Этим и объясняются различия в конфигурации кривых предложения ОСА и ОСд.

Легко заметить, что снижение относительной цены блага X на рис. 16.4, а отображается вращением бюджетной прямой вокруг точки SA против часовой стрелки, а ее повышение отображается на рис. 16.4, б вращением бюджетной прямой вокруг точки SB по часовой стрелке.

Теперь мы можем сделать более общий вывод о соотношении кривой предложения и кривой безразличия, к которой принадлежит характеризующая изначальный набор благ точка SA, например кривой UA на рис. 16.2. Сравнив левую и правую части рис. 15.4, легко заметить, что в обоих случаях — и при снижении относительной цены блага X, и при ее повышении — кривая предложения проходит через точку изначального набора SA и SB соответственно. С другой стороны, при снижении относительной цены блага X кривая ОСА лежит левее кривой безразличия UA, к которой принадлежит точка SA

(рис. 15.4, а). Мы можем, таким образом, заключить, что кривая предложения касается кривой безразличия, к которой принадлежит точка, характеризующая изначальный набор благ X и У, в этой точке. Выше этой точки кривая предложения имеет более крутой наклон, чем кривая безразличия, а ниже ее —менее крутой. Взаимное расположение кривой безразличия и кривой предложения иллюстрирует рис. 15.5.

15Л.2. КОРОБКА ЭДЖУОРТА И КОНТРАКТНАЯ ЛИНИЯ

Прежде чем продолжить анализ простого обмена в двухсубъ-ектной двухпродуктовой экономике без производства, нам необходимо ввести еще один инструмент анализа, так называемую

коробку Эджуорта, названную так по имени английского экономиста Ф. Эджуорта, первым использовавшего этот инструментарий.

Коробка Эджуорта, изображена на рис. 15.6. Она представляет совмещенные карты безразличия двух субъектов, А и В, причем карта безразличия В повернута на 180°, так что начала координат каждой из двух карт безразличия становятся противолежащими вершинами прямоугольника — коробки (А, В). Очевидно, что вместе с координатными осями карты безразличия В на 180° поворачивается и все семейство его кривых безразличия, так что кривые безразличия субъекта В выпуклы вправо вверх, тогда как кривые безразличия А остаются выпуклыми, как обычно, влево вниз.

На нижней горизонтальной оси, АХА, откладывается количество блага X, которым располагает А, на верхней оси, ВХВ, — количество того же блага X, которым располагает В. Аналогично на левой вертикальной оси, AYA, откладывается количество блага У, которым располагает А, а на правой оси, BYB, — количество блага У, которым располагает В. Границы коробки Эджуорта соответствуют фиксированным количествам благ X и У, находящимся в распоряжении субъектов Аи В, так что AL = ВК = ХА + Хв и АК = BL = YA +YB. Количества благ X и У фиксированы, потому что в рассматриваемой нами экономике нет производства, а сами блага могли появиться в этой экономике лишь извне, подобно, скажем, манне небесной.

Любая точка в пределах коробки Эджуорта характеризует некоторое распределение двух благ, X и У, между двумя субъектами, А и В. Пусть, например, точка S0 на рис. 15.6 будет точкой изначального распределения благ X и У между А и В. Тогда субъект А получит набор SA (Х°,У°), а субъект В — набор SB (Xg, Yg). При этом все наличное количество благ X и У будет без остатка распределено между ними, так что

АХА+ВХ°В = AL = ВК, AY° + BY° = АК = BL.

(15.6)

Очевидно, что если бы изначальное распределение благ X и У было таким, что А досталось бы только X, а В только У, то точкой изначального распределения была бы правая нижняя вершина коробки Эджуорта, точка L, в которой выполняются условия:

АХ°А =AL = ВК, ВХ\% = 0, BY° =BL = АК, AYA = 0.

(15.6*)

Легко заметить, что изначальное распределение благ S субъекты А и В сочтут неудовлетворительным, ведь в точке S0 наклоны пересекающихся здесь кривых безразличия А и В (UA и Uв) неодинаковы, что означает и неравенство в этой точке их предельных норм замены благ X и У. Субъект А будет склонен обменять часть доставшегося ему количества X на некоторое количество У, а субъект В будет склонен уступить часть наличного количества У в обмен на некоторое количество X. То же справедливо и в том случае, если начальное распределение будет характеризоваться точкой L, а не S0 (если А не испытывает «отвращения» к благу У, а В — к благу X). На рис. 15.6 показаны сегменты пересекающихся в L кривых безразличия субъектов А и В. Таким образом, при изначальном распределении благ S0 (или L) у обоих субъектов возникает желание улучшить свое положение посредством взаимного обмена некоторыми количествами благ X и У.

Это желание улучшить свое положение посредством обмена исчезнет лишь тогда, когда такое улучшение станет невозможным. Иначе говоря, склонность к обмену исчезнет только тогда, когда конечное, достигнутое в ходе обмена распределение благ X и У между субъектами окажется таким, что точка, отображающая его в коробке Эджуорта, будет точкой касания кривых безразличия обоих субъектов.

Поскольку, как мы знаем из раздела 3.2, карта безразличия каждого субъекта содержит бесконечное множество его кривых безразличия, коробка Эджуорта будет вмещать и бесконечное множество точек касания кривых безразличия двух субъектов. Это множество образует так называемую контрактную линию, или кривую (кривая АВ на рис. 15.6). Она представляет все множество взаимоприемлемых результатов обмена двух субъектов. Однако не все такие взаимоприемлемые результаты обмена будут одинаково выгодны обоим субъектам.

Рассмотрим точки F и G, лежащие на контрактной кривой АВ и являющиеся точками касания кривых безразличия субъектов А и Б. Чтобы перейти от начального распределения благ -S° к распределению F, субъект В должен обменять УдУ/ единиц блага У на ХАХГА единиц блага X. Тогда, оказавшись в точке F, он перейдет и на более высокую, чем U\%, кривую безразличия. Напротив, субъект А, отдав своему контрагенту ХАХА единиц блага X в обмен на УдУ/ единиц блага У, останется на прежней кривой безразличия 17°, на которой он был и до обмена. Таким образом, при переходе от изначального распределения S0 к распределению F весь выигрыш от обмена достанется субъекту А. Очевидно, что при переходе из S° в G результат обмена окажется противоположным, весь выигрыш от обмена достанется А.

Заметим далее, что при изначальном распределении S° ни одна точка на контрактной кривой АВ, лежащая ниже и левее F или выше и правее G, не может характеризовать результатов добровольного и взаимоприемлемого обмена благами X и У между субъектами А и Б. Все точки контрактной кривой ниже и левее F принадлежат кривым безразличия А, более низким, чем U°A, а все ее точки, расположенные выше и правее G, принадлежат кривым безразличия В, более низким, чем U°B. В первом случае в результате обмена проиграет А, во втором — В. Таким образом, добровольный и взаимоприемлемый обмен может иметь своим результатом лишь такое конечное распределение благ X и У, которое отображается точками в интервале FG контрактной кривой АВ. (Разумеется, это справедливо лишь при исходном их распределении S0. При другом исходном распределении, например L, границы допустимого множества исходов обмена будут иными). Мы можем, однако, определить, какая именно точка на сегменте FG характеризует конечное распределение благ X и У, при котором обмен ими между А и В прекратится. Для этого мы используем кривые предложения благ к обмену из наличного запаса, введенные в предыдущем разделе.

Как было показано на рис. 15.4 и 15.5, кривая предложения всегда проходит через точку, отображающую определенную комбинацию благ X и У, и лежит выше кривой безразличия, которой эта точка принадлежит. Если мы теперь повернем карту безразличия субъекта А, представленную на рис. 15.4, о, на 180° по часовой стрелке и совместим ее с картой безразличия субъекта В, представленной на рис. 15.4, б, то мы получим коробку Эджуорта, показанную на рис. 15.7. Понятно, что при этом точки изначального наличия благ SA и SB на рис. 15.4 после совмещения рисунков займут положение S0 на рис. 15.7, характеризующее изначальное распределение благ X и У между двумя субъектами. На рис. 15.7 также отображены кривые предложения каждого субъекта, ОСА и ОСв, и только две из всех представленных на рис. 15.4 кривых безразличия (по одной для каждого из двух субъектов), а именно проходящие через точки SA и SB (рис. 15.4) кривые UA и U\%. Кривые предложения, по определению, оказались лежащими между кривыми безразличия двух субъектов, проходящими через точку начального распределения S0, т.е. в зоне взаимоприемлемого добровольного обмена. Более того, они не только проходят через точку S0, но и пересекаются на сегменте контрактной кривой FG.

Вспомним, что кривая предложения субъекта А ОСА представляет множество точек касания кривых безразличия А и поворачивающихся против часовой стрелки вокруг SA

(рис. 15.4, о) бюджетных прямых. Точно так же кривая предложения субъекта В представляет множество точек касания кривых безразличия В и поворачивающихся по часовой стрелке вокруг SB (рис. 15.4, б) бюджетных прямых. Отсюда следует, что кривые предложения ОСл и ОСд должны пересечься в некоторой точке (Е на рис. 15.7), поскольку, по определению ОСл и ОСв, одна из кривых безразличия А должна касаться бюджетной прямой S°E в точке Е, и в этой же точке должна касаться прямой S°E одна из кривых безразличия В. Таким образом, в точке Е одна из кривых безразличия А должна (по определению) касаться одной из кривых безразличия В и обе они должны касаться бюджетной прямой S°E . На рис. 15.7 это кривые безразличия U'A и U'B.

Как было показано в предыдущем разделе, если обмен между двумя субъектами возможен, каждый из них «движется» вдоль своей кривой предложения, потому что это позволяет ему максимизировать свою функцию полезности при меняющихся относительных ценах благ. Однако не всякая точка на кривой ОСА (рис. 15.7), обеспечивающая максимум полезности Л при данном соотношении цен, обеспечивает и максимум полезности его контрагенту В. Точно так же не всякая точка на кривой

ОСв, обеспечивающая максимум полезности В при данном соотношении цен, обеспечивает его и для А. Максимальное удовлетворение (полезность) для обоих субъектов возможно лишь в том случае, когда конечное распределение благ соответствует точке пересечения обеих кривых предложения в коробке Эджуорта. На рис. 15.-7 А достигнет своей наивысшей кривой безразличия U'A, обменяв -Х"дХд единиц блага X на YAYA единиц блага У. Или, что означает то же самое, В достигнет своей наивысшей кривой безразличия U'B, обменяв YBY* единиц У на

ХВХ*В единиц X.

Основные итоги нашего обсуждения сводятся к следующему.

Если в точке, характеризующей в коробке Эджуорта изначальное распределение двух благ, кривые безразличия двух индивидов пересекаются (а не касаются одна другой), обмен благами может способствовать достижению каждым субъектом более высокого уровня удовлетворения (полезности).

Конечное распределение двух благ между двумя индивидами соответствует точке пересечения их кривых предложения, которая в то же время является и точкой касания их кривых безразличия и лежит на контрактной кривой.

В этой точке достигнутого в процессе обмена равновесия предельные нормы замены двух благ для обоих субъектов одинаковы и равны соотношению цен:

MRS£ у = MRS£ у = (15.7)

или

MRS? x = MRS* x = (15.7*)

Мы представили равновесный исход обмена двумя благами двух индивидов, А и В, значительно сложнее представить процесс, в ходе которого такой исход достигается. Действительно, почему равновесие достигается в точке, лежащей внутри интервала FG контрактной кривой, а не на его границах, в F или G? Ведь нормы обмена X на У или их относительные цены в нашей двухсубъектной экономике простого обмена не являются экзогенными, заданными участникамобмена извне, как это предполагается в модели совершенной конкуренции. Скорее всего, наши субъекты окажутся в ситуации двухсторонней монополии, исход которой не детерминирован и зависит от их способности вести торг (см. раздел 10.10). А торговаться им есть из-за чего. Как мы заметили при обсуждении рис. 16.6, субъект А будет стремиться оттеснить В в точку G, тогда ему достанется весь выигрыш от обмена, а субъект В будет стремиться по той же причине оттеснить А в точку F.

Чтобы подчинить контрагентов режиму совершенной конкуренции, при которой цены воспринимаются как экзогенные параметры, мы последуем примеру Л. Вальраса, включившего в свою модель незаинтересованное в исходе обмена лицо — аукциониста и возложившего на него миссию нащупывания (фр. tatonnement) равновесных цен.