3.2 решения

3.2 решения

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ № 1

Производственная функция q = f(x , x2) c постоянной отдачей от масштаба обладает следующим свойством: при любом положительном k выполняется равенство

f(kx1, kx2) = kf(x1, x2). Почленно дифференцируя это равенство по k, получим:

— • x1 + — • x2 = f(xv X2), (1)

или MP1 • x1 + MP2 • x2 = q, откуда MP2 = (q MP1 • x1)/x2.

При данных задачи находим: MP2 = (60 3 • 12)/4 = 6.

Комментарий. Равенство (1) есть частный случай уравнения Эйлера: если функция f(x1, x2, xn) однородна степени а, то

v if = f ( )

у xi • = af(xl, x2,xn).

Производственная функция c постоянной отдачей от масштаба — однородная функция первой степени, или линейно-однородная функция.

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ № 2

Эластичность замещения ресурсов представляет собой эластичность отношения количеств ресурсов x2/x1 по предельной норме технической замены MRTS12.

а) Найдем предельные продукты ресурсов:

MP1 =-^=; MP2 b

2*[xi 2^x2

Отсюда

MP a fxl

MRTS12 = 1 = -•

12 MP2 b x1

Предельная норма технической замены представляет собой степенную функцию отношения x2/x1; показатель степени равен 1/2. Эластичность степенной функции равна показателю степени, так что эластичность MRTS12 по x2/x1 равна 1/2, а эластичность обратной зависимости, которая нас интересует, равна 2.

б) MP1 = a •ax1a-1x2; MP2 = a •px1ax22-1; MRTS12 = a

В этом случае зависимость также степенная, показатель степени равен 1; соответственно эластичность замещения равна 1.

hx2 ах2 h х2

в) MP1 = hX2-—; MP2 = ПХ^ПГ; MRTS12 = ■ \%

(ax1 + hx2) (ax1 + hx2) a x1

Здесь показатель степени равен 2, эластичность замещения равна 1/2.

Комментарий. В рассмотренных задачах пропорция затрачиваемых ресурсов и предельная норма технической замены были связаны степенными зависимостями. Эластичность степенной функции — постоянная величина; производственные функции, обладающие подобными свойствами, получили название функций с постоянной эластичностью замещения, или ПЭЗ-функций. Они служат удобными моделями и широко используются в микроэкономическом анализе. В частности, они позволяют оценивать взаимозависимость ресурсов в производстве: если эластичность замещения ресурсов больше 1, то ресурсы являются взаимно заменяющими, а если меньше, то — дополняющими. В случае а) ресурсы были взаимными заменителями, в случае в) — дополнителями. В случае б) ресурсы были взаимно независимыми.

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ № 3

а) Путь оптимального роста фирмы — это множество экономически эффективных способов производства, т. е. таких способов, которые позволяют произвести любое возможное количество продукта с минимальной стоимостью используемых ресурсов. Для каждого экономически эффективного способа предельная норма технического замещения ресурсов равна соотношению их цен.

Предельные производительности ресурсов

= dq_ = а Е; MP2 = А. = a £

предельная норма технической замены

2

MP х MRTS12 = M^ =

12 MP2 x1

Таким образом, путь оптимального роста — прямая, описываемая уравнением

X2 —

P2

х

б) Используем полученное уравнение для определения экономически эффективного набора ресурсов, необходимого для производства продукта в количестве q. Подставим выражение для х2 в производственную функцию:

q = а'

откуда

ap.

X2 =

q

a

a

в) В случае, когда х2 = const, изменение объема выпуска достигается выбором соответствующей величины х1, так что в коротком периоде 2

q

X1 = ' 2

а х„

и поэтому

STC(q) = P1X1 + P2X2 =

Piql

a2x„ + P2X2

Комментарий. Поскольку LTC(q) — это минимальные затраты на производство объема q при условии, что все ресурсы — переменные, а STC(q) — минимальные затраты при условии, что некоторые ресурсы — постоянные, можно утверждать, что STC(q) > LTC(q) при любом q. Выражения для затрат короткого и длительного периодов, полученные при решении задачи, иллюстрируют это общее положение:

2

STC(q) LTC(q) = P|q-+P2X2 а х„

2q а

P2X2

> 0.

Равенство достигается при значении q, обращающем в нуль выражение в круглых скобках:

IP2"

q = a А—x2,

p1

т. е. при том объеме выпуска, для которого в условиях длительного периода второй ресурс использовался бы в данном объеме x2 (проверьте!).

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ № 4

а) Пользуясь методами, примененными при решении

предыдущей задачи, находим:

MP1 =^ = (x 5)-0.5 • (x, 10)03;

MP, =-dxq= 0.6 • (x 5)0.5 • (x, 10)07;

MRTS12 = M^ = J•x^10 = -p1 = 1. 12 MP2 0.6 x1 5 p2 4

Отсюда получаем уравнение пути оптимального роста:

x2 = 10 + 0.15 • (x1 5).

б) Используем полученное уравнение для определения

экономически эффективного набора ресурсов, необходимого

для производства заданного объема q продукта. Подставим

выражение для x2 в производственную функцию:

q = 2 • (x1 5)0.5 • [0.15 • (x1 5)]03 = 1.1320(x1 5)0.8, откуда определяются

x1 = 5 + 0.8564 q1.25; x2 = 10 + 0.12846 q1.25 и функции затрат

LTC(q) = p1x1 + p2x2 = 45 + 1.3702 q1.25;

LAC(q) = 45 + 1.3702 q0.25; LMC(q) = 3.6025 • 103 q0.25.

q

в) Эффективный масштаб производства qe определяется

объемом выпуска, при котором средние затраты принимают

минимальное значение; при этом выполняется равенство MC(qe) = AC(qe), из которого находим qe = 49.520. При этом min LAC(q) = 4.544, ресурсы используются в количествах x1 = 117.5, x2 = 26.875.

г) В коротком периоде зависимость объема выпуска от использования единственного переменного ресурса описывается равенством

q = 2 • (x1 5)05(20 10)03 = 3.9905 • (x1 5)0.5, так что количество первого ресурса для выпуска q единиц продукта равно

x1 = 5 + 0.062797q2,

и функции затрат

STC(q) = 1 • (5 + 0.062797q2) + 4 • 20 = 85 + 0.062797q2 85

SAC(q) = —+ 0.062797q; SMC(q) = 0.12559q.

q

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ № 5

Любой объем выпуска фирмы Q = q1 + q2 должен быть распределен между заводами таким образом, чтобы суммарные затраты TC(Q) = TC1(q1) + TC2(q2) были минимальными. Таким образом, функция затрат фирмы определяется условием:

TC(Q) = min(TC1(q1) + TC2(q2)) при условии Q = q1 + q2.

В рассматриваемом случае двух заводов эффективное распределение объема производства легко найти подстановкой q2 = Q q1 и последующей минимизацией суммы функций затрат обоих заводов:

TC^) + TC2Q qj =

= 200 + 10q1 + 0.5 qj2 + 100 + 10(Q q1) + 2(Q q1)2.

Минимум достигается при q1 = 0.8Q, так что q2 = 0.2Q. Подстановка в полученное выражение найденного значения q1 дает выражение для искомой функции затрат: TC(Q) = 300 + 10Q + 0.4Q2.

Комментарий. Отметим одно свойство эффективного распределения. Подстановка найденных выражений для q1 и q2 в выражения для предельных затрат заводов показывает, что значения предельных затрат заводов одинаковы: MC1(q1) = 10 + q1 = 10 + 0.8Q; MC2(q2) = 10 + 4q2 = 10 + 0.8Q.

Кроме того, эти значения совпадают с предельными затратами фирмы в целом:

MC(Q) = 10 + 0.8Q.

Этот результат справедлив для любых функций затрат заводов (с некоторыми оговорками, обсуждаемыми в комментарии к задаче № 6). Воспользовавшись подстановкой, примененной выше при решении задачи, сформулируем требование к распределению объема производства в виде минимизации суммы TC1(q1) + TC2(Q q1). Дифференцируя по q1, найдем, что MC1(q1) MC2(Q q1) = 0, т. е. при эффективном распределении MC1(q1) = MC2(q2).

Равенство предельных затрат имеет ясный экономический смысл. Если при некотором распределении предельные затраты оказьпваются неравными, например MC2(q2) > MC1(q1), то уменьшение объема q2 на малую величину є > 0 с одновременным увеличением на такую же величину объема q1 не изменит общего объема выпуска фирмы Q, но сократит общие затраты фирмы, так как сокращение затрат второго завода (MC2 • є) превысит увеличение затрат первого завода (MC1 • є).

Кроме того, результат будет тем же при произвольном числе заводов. Покажем это, воспользовавшись методом множителей Лагранжа. Если в состав фирмы входят n заводов, то функция общих затрат фирмы при эффективном распределении объема производства между заводами определяется условием

TC(Q) = £ TC; (qt) при условии £ ql = Q.

i=1 l=1

Функция Лагранжа для рассматриваемой задачи условной минимизации:

L(q1, А) = £ TCi) qt Q

i=1 V1=1

где А — множитель Лагранжа. Условие минимума:

ВТ

— = MCi (qi) -X = 0, i = 1, 2, n, так что при эффективном распределении общего объема производства

MC.(q.) = X, i = 1, 2, n, т. е. предельные затраты всех заводов равны одной и той же величине X. В свою очередь множитель Лагранжа равен производной минимизируемой функции (TC(Q)) по ограничивающему параметру (Q), следовательно, MC(Q) = X.

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ № 6

Воспользовавшись рассмотренным выше свойством эффективного распределения, приравняем предельные затраты первого завода MC1(q1) = 10 + q1 предельным затратам второго MC2(q2) = 25 + 4q2 и получим соотношение q1 = 15 + 4q2. Так как Q = q1 + q2 = 15 + 5q2, находим:

q2 = 0.2Q 3; q1 = 0.8Q + 3.

Такое распределение возможно лишь при Q > 15: в противном случае оказалось бы q2 < 0, что невозможно, и q1 > > Q, что также невозможно. Не учитывая условие неотрицательности q1 и q2, мы пришли к результату, верному лишь при достаточно больших общих объемах. При Q < 15 эффективным окажется «распределение», при котором весь объем выпуска фирмы будет осуществляться первым заводом. Итак,

q1 = Q, q2 = 0 при Q < 15;

q1 = 0.8Q + 3, q2 = 0.2Q 3 при Q > 15.

Комментарий. Методы дифференциального исчисления позволяют найти внутренние экстремумы. В первой части задачи при любых значениях Q существовали внутренние решения: и q1, и q2 можно было как увеличить, так и уменьшить на достаточно малую величину. Во второй части такая возможность для распределения при Q < 15 отсутствует. В этом случае MC1(q1) = 10 + Q, MC2(q2) = 25, так что MC2 > MC1, но «исправить» распределение, увеличив на q1 величину є и соответственно уменьшив q2, невозможно. Здесь мы имеем дело с граничным оптимумом.