3.4. производная. исследование функций
3.4. производная. исследование функций
Для нахождения производной в программе Maxima применяется команда diff
Задача 3.7. Поиск экстремумов.
3 2
Найти экстремумы функции у = -9х -Ах +5х 1. Определим функцию:
(\%І15) у(х]:=-9*хА3-4*хЛ2+5*х; С\%о15] у(х) :=(-5}х3 4 х2 + 5 х
Найдем производную:
(\%І16) f (x) :=diff (у (x) ,x) ; (\%ol6) f(x) :=diff(y(x) , x)
<\%il7) f(x);
<\%ol7) -21x2-Qx + S
Найдем нули производной: (\%i!S) solve(f(x} =0,x] ;
-J ISl'-f4 -J 151 ' 4
(\%oiej fjc = fx= ;
27 27
Найдем вторую производную:
(\%i!9) g(x} :=diff (f (x) ,x) ; (\%ol9) g(x):=diff(f(x),x]
(\%І20) g(x); (\%o20) -54x-8
Далее может возникнуть проблема, т.к. мы задали функцию
g(x) через производную другой функции, т.е. ее аргументом является
функция. Переопределим функцию второй производной:
(\%i25) g(x) :=-54*x-8; (\%o25) g( x) :=( 54 )x 8
5. Вычислим значения второй производной в точках, в которых
первая производная обращается в ноль:
(\%І2Є) g((sqrt (151)44)/27} ; (\%o26) -2( -л/15l'-4 }8
(\%i27) g( (sqrt(151}+4)/27} ; (\%o27) -2(л/і5і' + 4 }8
Для преобразования подобных выражений в десятичную дробь используется функция float:
(\%І31) float (\%о2б) ,пшіег; (\%о31) 24.57641145488901
(\%І32) float (\%о2 7} , mimer; (\%о32) -40.57641145488901
82
Аргументом этой функции (так же, как и у других функций) может быть число, выражение или ссылка по адресу, как в данном случае.
В первой точке вторая производная больше нуля, а во второй -меньше нуля, следовательно, в первой точке наблюдается минимум, во второй максимум.
Задача 3.8. Минимаксная задача.
Найти минимальное и максимальное значение функции у = х -х х + на отрезке [ -2, 4].
Задаем функцию:
(\%ІЄ) y<xj :=хЛ3-хЛ2-х+1; (\%о6) у( х) : = х3 х2 х + 1
Находим производную:
(\%i7) diff (у(х] ,х] ; (\%о7) Зх2-2х-1
Находим нули производной:
(\%ІЗ) solve(diff(у{х))=0,х);
_
С\%о8) [х = 1,х = ^del(x}=0;
3
4. Т.к. обе точки, в которых производная обращается в ноль,
находятся внутри указанного в условиях отрезка, то вычисляем значения функции как в стационарных точках, так и на границах отрезка (рис. 3.2):
Итак, точка минимума: (-2; -9); точка максимума: (4; 45). Задача 3.9. Исследование функции и построение ее графика.
Произвести полное исследование функции и построить ее график: у = 3x3 9x 2 +26x24 Зададим функцию:
у (х) : = (хЛ3-9*хЛ2+2б*х-2 4)л(1/3) ; (\%ol) у(х):=^х -Эх +26Х-24)
. ООФ: jcgR.
. Симметрия отсутствует.
. Точки пересечения с осями координат: При x=0:
(\%І2) у(0);
(\%о2) -2 31/3
или
(\%i3) float(\%);
(\%оЗ) -2.884499140614817
Найдем, когда функция обращается в ноль:
(\%i4) solve (у (х) =0, х) ; (\%о4) f х = 4 Л х = 2 , х = 3 ]
. Точек разрыва и вертикальных асимптот нет.
. Наклонные асимптоты:
Наклонные асимптоты ищем в виде: y=ax+b. По определению асимптот параметры a и b находятся как пределы:
а= lim ^1^; Ъ= lim (у(х)-ах)
jf—»оо X Jf—»оо
(\%І5) а : limit(у(х)/х,х,inf] ;
(\%о5) 1
Найдем второй параметр:
(\%І6) Ь : limit ( (у (х) -а*х) , х, inf ] ; (\%о6) -З
Таким образом, функция имеет наклонную асимптоту y=x-3. 6). Точки экстремума. Интервалы монотонности. Найдем производную:
(\%І7) diff<у<х),х);
зxz 18х + ге
<\%о7)
З ( к Э к +26 х -24)
Разложим знаменатель на множители, применив к функции операцию «Упростить (рац)», для чего просто нажмем на эту кнопку:
(\%i9) radcaii(\%);
З л2 -18 х + 26
(\%о9)
3(x-4>2/3(x-3)2/3U-2}2/3
Найдем нули производной:
(\%i!0) solve (diff (у (x) )=0,x] ;
т/Т"э т/1Г+ 9
(\%ol0) [x = , je= , del(x) = Oj
з 3
В десятичных дробях корни имеют следующее выражение:
(\%ill) float(\%);
{\%ollJ [x = 2 . 422649730810374 , x = 3 . 577350269189625
Следует отметить, что при x=2, x=3, x=4 первая производная терпит разрыв, и ее значение в этих точках стремится в бесконечности. Таким образом, график функции в этих точках вертикален.
При x <2.4226, y >0 функция возрастает;
При 2.4226< x <3.5774, y '<0 функция убывает;
при 3.5774< x , y' >0 функция возрастает.
Таким образом, х =3.5774 точка минимума; х=2.4226 точка максимума.
Сначала упростим это выражение:
1/3 "-'3 1/3 п
(\%ol3J
U-4} (к-3) (х-2> ' (6х^-36х+56)
а затем разложим на множители:
Корни комплексные, на множестве действительных чисел корней нет. Таким образом, вторая производная в ноль не обращается. Однако, она терпит разрыв в точках х=2, х=3, х=4. При этом, при переходе через эти точки вторая производная меняет знак, следовательно это точки перегиба.
Теперь построим график. Предварительно, зададим функцию асимптоты:
Для построения графика нажмем кнопку «График 2D». Появится панель мастера «График 2D» (рис. 3.3).
3.5. Интеграл
Задача 3.10. Неопределенный интеграл.
х -1
Найти неопределенный интеграл j" dx
х(х +1)
В программе Maxima для интегрирования имеется функция integrate. Ее синтаксис:
mtegrate(функция, аргументфункции {,нижний_предел, верхнийпредел }) В фигурные скобки заключены необязательные операнды: пределы интегрирования. Если они отсутствуют, то производится поиск неопределенного интеграла. Введем команду:
Итак, мы сразу же получили, что интеграл равен
J * 1 dx = arctg(x)
х(х2 +1) 2
Как видим, переменная интегрирования здесь опускается.
Задача 3.11. Определенный интеграл.
з y -—
Вычислить определенный интеграл J ,— е 2 dx. Введем команду:
(\%i2) integrate (ехр(-хЛ2/2)/sqrt(2*\%pi),x, 0, 3]
(\%о2)
Здесь была использована математическая константа число 71=3.14159... (отношение длины окружности к диаметру). В программе Maxima она обозначается «\%pi».
Ответ был получен через встроенную функцию erf(x) интеграл ошибок. Получим ответ в привычной форме, используя функцию float74
(\%ІЗ) float (\%);
(\%оЗ) 0.49865010196837
Итак, наш интеграл вычислен с очень большой точностью. Если будет необходимость, то можно увеличить точность, войдя в раздел меню «Численные вычисления»==>«Установить точность».
Количество знаков зависит только от объема памяти компьютера и, возможно, времени, которое Вы готовы потратить в ожидании ответа.
Ниже показано графическое представление интеграла:
89
Задача 3.12. Несобственный интеграл.
со |
Вычислить несобственный интеграл J— dx.
OX +1
Введем команду: (\%il) integrate(1/(хЛ2 + 1),x, G, inf ] ;
(\%ol) —
Как видим, мы получили требуемый результат.
Обсуждение Математика в экономике
Комментарии, рецензии и отзывы