3.7. ряды
3.7. ряды
Задача 3.13. Сходимость и суммы числовых рядов.
Исследовать ряд на сходимость и найти его сумму, если он
" ЪАп 82
сходится: 2^ 2 '
п=6П -2п -5п + 6
Применим признак Даламбера, для чего нужно найти предел отношения lim
П^сс С1п
Выполним расчеты.
Задаем функцию (общий член ряда):
ап
<
< —
<
и3-2и2-5и + 6 и3-2и2-5и + 6 и3-2и2-5и 34п ЗАп
= 68— = — = Ъп
3 2 г 2 3 3 л 3 2
п -2п -5п п -п 12 п п
<
68
Рассмотрим функцию f(x) = — . Т.к. при х>0 f(n)=b(n), то
X
оо
Вычислим интеграл j—dx:
6х
можно применить интегральный признак Коши.
68
Т.к. получено конечное значение, то интеграл сходится, следо
вательно ряд ^Ьп сходится, а т.к. 0<ап <Ьппщ всех достаточно п=6
больших n, то и исходный ряд тоже сходится.
Найдем теперь сумму ряда. Сначала без использования программы Maxima, а затем проверим результат с ее помощью.
91
Разобьем дробь ап на элементарные дроби, для чего разложим знаменатель на множители. Для этого найдем корни знаменателя,
3 2
т.е. решим уравнение п -2/7 -5/7 + 6 = 0.
Легко заметить, что /7 = 1корень этого уравнения.
Для нахождения двух остальных корней поделим полином третьей степени на (п-1):
п3 -2п2 -5п +6 | /2-І |
3 2 п п | п2 -п-6 |
-п2 5п | |
-п2 +п | |
-6п + 6 | |
0 |
2
Решим квадратное уравнение п -/7-6 = 0. Имеем: п = -2 и /7 = 3. Таким образом, знаменатель раскладывается на следующие множители:
г? In1 5п + 6 = {п \п + 2)(и 3).
Исходная дробь a(n) может быть представлена в виде:
34/7-82 а Ъ с
ап=—, -2 = + +
/7-2/7-5/7 + 6 /7-1 /7+2 /7-3
Приведем правую часть дроби к общему знаменателю:
34/7 82 an2 an -6а + Ъп2 4Ьп + ЪЪ + сп2 + с/7 2с
Qn ~ пъ-2п2-5п + в ~ (и-1)(и + 2)(и-3)
Приравнивая коэффициенты при соответствующих степенях, получаем следующую систему уравнений:
а+^ ^ 0 < а 4Ь + с = 34 6а + 36 2с = -82
Ее решение: а = 8; Z? = —10; с = 2..
92
Таким образом,
8 10 2
n-1 n + 2 n-3 Рассмотрим последовательности, образуемые каждым слагаемым. Расположим их друг под другом так, чтобы в каждом столбце были одинаковые знаменатели, и сложим:
222222 22
— + — + + — + — + -+ — + — + ...+
345678 9 10
_10_10_10_ ~8~ ~9~ Ї0
8 8 8 8 8 8 + + + -+ + — + , 5 6 7 8 9 10
і I
Видно, что сумма всех столбцов, кроме первых пяти, равна нулю. Таким образом, сумма ряда равна
88822222 5 = + + + ++ + + = 6.2619047. 56734567
Найдем теперь сумму ряда с помощью программы Maxima:
з imp s um;
Ответ не дан.
Попытаемся найти решение через предел частичных сумм.
Зададим функцию частичной суммы S(m) = ^а(п):
п=6
Попытаемся приблизиться к ответу, увеличивая значение верхнего предела суммы: m=1000
(\%ІІ8) S(1000};
(\%І23)
(\%о23) 6.261870761928762 Разница в найденном нами точном ответе и приближенном, найденном программой Maxima в четвертом знаке после запятой. Можно считать, что мы нашли ответ точный.
Задача 3.14. Сходимость числового ряда.
Исследовать ряд на сходимость:
2п (2п + 2)! ^ (3/7)! '
п=1
Т.к. предел отношения равен нулю, то ряд сходится.
Задача 3.15. Сходимость степенного ряда.
ОО
Исследовать ряд на сходимость: ^(-9и2 + п 6)хп~1.
п=4
Найдем радиус сходимости:
(\%І5) а (п) :=-9*лЛ2+п-6;
(\%о5) а< л) :=< 91л2 + л 6
(\%i6) limit (а (п+1) /а (п) jr п, inf) ; (\%о6) 1
Радиус сходимости равен единице, следовательно, ряд сходится абсолютно при -1 < х < 1.
При |х| = 1 нарушается необходимый признак сходимости: члены ряда должны стремиться к нулю. Т.к. множитель при xn-1 неограниченно растет по модулю, то и все произведение также неограниченно растет. Ряд расходится.
Задача 3.16. Разложение в ряд Тейлора.
Разложить функцию в ряд Тейлора: f (х) х ■ cos2 (х) в точке
x=0.
Для разложения функции в ряд Тейлора служит функция taylor. Ее синтаксис:
taylor(f,x,a,n).
Здесь f функция, которую требуется разложить в ряд Тейлора; х переменная, по которой производится разложение; а точка, в которой производится разложение; n максимальная степень переменной х, до которой выписывается ряд Тейлора.
Введем команду:
3.8. Дифференциальные уравнения
Задача 3.17. Решение обыкновенного дифференциального уравнения
Решить дифференциальное уравнение , х + у
у=—-■
х-у
Для решения дифференциальных уравнений используется команда ode2. Ее синтаксис:
Задача 3.18. Задача Коши.
Решить задачу Коши:
Мы получили, что решение уравнения есть следующая функция:
у = е3х +(к2-х + к)е2х.
При помощи функции ic2 учтем начальные условия:
С\%ІЗ) Іс2 (\%, х=0, y=Q, 1 diff [у, х] =1} ; {\%оЗ) у = \%е3х-\%е2х
Зх 2х
Окончательно получаем: у = е -е
Обсуждение Математика в экономике
Комментарии, рецензии и отзывы