2.3. продуктивная матрица

2.3. продуктивная матрица: Макроэкономика, Г.В. Кузнецов, 2008 читать онлайн, скачать pdf, djvu, fb2 скачать на телефон Макроэкономика — это наука о хозяйственной деятельности людей и развитии этой деятельности в отдельных регионах, странах и в мире в целом.

2.3. продуктивная матрица

В общем случае решение (2.9) уравнения (2.8) может иметь как шо-ложительные, так и отрицательные значения. В модели межотраслевого баланса эти решения могут быть только шоложительными, так как отрицательное значение валового вышуска лишено смысла. Отсюда следует задача о свойствах матрицы шрямых материальных затрат A , шри которых вышуски будут шоложжительными.

Система (2.5), или (2.8), называется шродуктивной, если она разрешима в неотрицательных xi, т.е. xi > 0 шри условии, что матрица-столбец Y > 0. Матрица шрямых материальных затрат в этом случае также называется продуктивной.

Продуктивность матрицы связана с ее собственным числом и вектором. Для матрицы размера n х n вектор x называется собственным вектором матрицы А , если найдено такое число X , что

Ax = Xx.

Число X называется собственным значением матрицы А , соответствующим вектору x . Перенеся левую часть уравнения в шравую часть и шринимая во внимание соотношение X x = X E' x , шереши-шем уравнение в виде:

(XE А) x = 0.

Это уравнение эквивалентно системе линейных однородных уравнений, имеющий вид

Подпись: +(1-а\)

a2x

г2л2

X +

+ (1-а22 )x2 + + a2nXn

+ an2 X2 + + апп )Xn

(2.13)

Для существования ненулевого решения этой системы линейных однородных уравнений необходимо и достаточно, чтобы определитель коэффициентов этой системы равнялся нулю, т.е.

A -1E

*n 2

-1

Этот определитель является многочленом n-й степени относительно 1 и называется характеристическим многочленом матрицы а , а уравнение — характеристическим уравнением матрицы а . Корни этого уравнения соответствуют собственным числам матрицы а . Определив набор этих чисел, для каждого из них можно найти собственный вектор.

Теорема о продуктивности матрицы [4, 6, 9] может быть сформулирована в следующем виде: модель Леонтьева продуктивна тогда и только тогда, когда 1 < .

Можно показать [4], что при 1< матрица (E A) , обратная

матрице (E A), будет положительной, т.е. (E A) > 0. Тогда для

любого положительного объема продукции конечного использования, описываемого матрицей-столбцом (вектором) Y > 0 , решение

системы уравнений X = (E A) Y будет неотрицательным.

Другим, более простым признаком продуктивности матрицы A является ограничение на сумму элементов ее строк. Этот признак звучит следующим образом: если сумма элемента каждой строки не превосходит единицы, а сумма элементов хотя бы для одной строки строго меньше единицы, то модель Леонтьева продуктивна. Заметим, что в общем случае матрица может оказаться продуктивной и при сумме элементов строк более единицы.

> Пример 2.2. Является ли матрица

(0,3 0,4 0,2 0,1 ^

0,4 0,1 0,1 0,4

0,2 0,3 0,4 0,1

0,3 0,4 0,1 0,1

продук-

тивной?

Решение. Эта матрица является продуктивной, так как сумма ее элементов первых трех строк равна единице, а сумма элементов последней строки меньше единицы. ◄

Макроэкономика

Макроэкономика

Обсуждение Макроэкономика

Комментарии, рецензии и отзывы

2.3. продуктивная матрица: Макроэкономика, Г.В. Кузнецов, 2008 читать онлайн, скачать pdf, djvu, fb2 скачать на телефон Макроэкономика — это наука о хозяйственной деятельности людей и развитии этой деятельности в отдельных регионах, странах и в мире в целом.