4.6. линии безразличия
4.6. линии безразличия
Линии уровня функции полезности потребителя, проходящие через потребительские наборы (х, у) с одним и тем же уровнем удовлетворения потребностей покупателя, называются линиями безразличия. Множество линий безразличия называется картой линий безразличия (рис. 4.7).
У
0
х
На рис. 4.7 изображены линии безразличия, имеющие уровни функции полезности потребителя Uj, u2 и u3. Линии безразличия
не касаются и не пересекаются. При увеличении уровня функции полезности линии безразличия смещаются вправо вверх. Для примера рис. 4.7 справедливо неравенство uj < u2 < u3.
Из приведенных выше свойств функции полезности следует, что линия безразличия в системе координат х0у является убывающей и выпуклой вниз функцией. Действительно, дифференциал
функции полезности u = f (x, y) при движении вдоль линии уровня равен нулю, т.е.
dx
dy
, ч du (x, y) du (x, y)
du (x, y) = —^—dx ч ^—dy --
0.
Отсюда следует, что
dy dx
du( x,y) du( x,y)
dxdy
(4.5)
Так как числитель и знаменатель дроби величины положительные (свойство 1), то производная функции безразличия y = y (x) является отрицательной, т.е. эта функция является убывающей.
Вторую производную функции y = y (x) находят путем дифференцирования (4.5), т.е.
d
d
dx
^ du (x, y ~) I (du (x, y )^
dy
dx
dx
d2u (x, y) du (x, y) du (x,y) d2u (x, y)
dx2
dy
dx
dydx
du(x, y)
. dy
Так как первое слагаемое числителя положительно в силу свойств 1 и 2 функции полезности, а второе слагаемое числителя также положительно в силу свойств 1 и 3 функции полезности, то вторая производная функции безразличия y = y (x) является величиной положительной. Отсюда следует, что линии безразличия выгнуты вниз.
Если приращения координат по осям x и y обозначить соответственно через Ax и Ay , то справедливо приближенное равенство
dy ^ Ay dx Ax
Сопоставив это с (4.5), найдем
du (x, y} I du (x, y) Ay
dxdyAx
(4.6)
Дробь -— называется нормой замены первого продукта вторым, Ax
а производная — — предельной нормой замены первого продукта
dx
вторым. Если известна функция полезности u = f (x,y), то норма
замены рассчитывается по формуле (4.6) и показывает, на сколько должен потребитель увеличить (уменьшить) потребление второго продукта, если он уменьшил (увеличил) потребление первого продукта на 1 единицу без изменения уровня удовлетворения своих потребностей.
Обсуждение Макроэкономика
Комментарии, рецензии и отзывы