4.9. уравнение слуцкого

4.9. уравнение слуцкого

Уравнение Слуцкого имеет вид:

dx

dx *

—x

dI

dx*

В левой части этого уравнения стоит производная от точки

спроса по цене товара под номером . Эта величина показывает отклик точки спроса на изменение цены этого товара. Левая часть уравнения Слуцкого называется общим эффектом от влияния цены на спрос.

Второе слагаемое в правой части уравнения Слуцкого x* явdI

ляется откликом точки спроса на изменение бюджетного ограничения I. Это слагаемое называется влиянием дохода на спрос.

Первое слагаемое в правой части уравнения Слуцкого

называется влиянием компенсирующего изменения цены на спрос. Это слагаемое показывает изменения цен на точку спроса при условии компенсации дохода так, чтобы полезность была неизменной. Геометрически это соответствует тому, что при изменении цены доход изменяют так, чтобы, оставаясь на той же линии полезности, получить новую точку спроса. Например, увеличивая цену товара под номером i, изменяют оптимальную точку спроса и уменьшают максимальную полезность. Затем увеличивают доход так, чтобы при новой точке спроса получить начальную полезность. Можно показать, что выполняется неравенство

< 0.

(4.13)

Из уравнения Слуцкого и соотношения (4.13) при х* > 0 следуют условия:

дх* дх*

если > 0 , то всегда < 0;

ді дрі

~ * ^ *

дх дх

если > 0 , то всегда < 0;

дх*

дх*

дрі ді

если < 0 , то, возможно, < 0.

ді

(4.14)

(4.15) (4.16)

В зависимости от выполнения соотношений (4.14) и (4.15) товары подразделяются на ряд типов [4—6, 8]:

дх*

> 0 — товар Гиффина;

< 0 — нормальный товар;

> 0 — ценный товар, т.е. при увеличении дохода спрос на

дх*

дх* ~д1

4) < 0 — малоценный товар, т.е. при увеличении дохода

него растет;

дх* ~дІ

спрос на него падает.

товар нормальный и ценный;

товар Гиффина и малоценный;

товар нормальный и малоценный.

Из анализа типов товаров и соотношений (4.14) и (4.15) следует, что любой товар попадает в одну из следующих категорий:

dx* dx*

< 0 , > 0

dpi dI

dx* dx*

> 0 , < 0

dpi dI

dx dx

< 0 , < 0

Товар Гиффина обладает свойством, которое кажется не вполне реальным, а именно: снижение цены на товар ведет к снижению спроса на этот товар. Возникает вопрос о причинах поведения потребителя, для которого возможно такое поведение. На этот вопрос на разных примерах пытаются ответить многие исследователи [4—6, 8]. Возможна, например, следующая ситуация. Пусть некто, обладающий небольшим бюджетным ограничением, потребляет ряд продуктов, одним из которых является картофель. Если цена на него снизится, то часть средств у потребителя высвободится, и он сможет их использовать для приобретения более ценных продуктов питания. Так как потребитель будет потреблять большее количество ценных продуктов питания, то необходимость в потреблении прежнего количества картофеля отпадет. А это приведет к снижению спроса на картофель при снижении цены на него. Таким образом, товары Гиффина не являются нереальными, хотя встреча с такими товарами в действительности маловероятна.

У нормального и ценного товара качество выше, чем у товара нормального и малоценного. К ценному товару могут относиться, например, пищевые продукты высокого качества (сливочное масло без добавок), в отличие от пищевых продуктов широкого потребления, которые являются малоценными (маргарин). При увеличении дохода или при уменьшении цены сливочного масла без добавок покупают больше. При уменьшении дохода или при уменьшении цены маргарина покупают больше. К ценным товарам относятся также предметы роскоши, драгоценности. Справедливы и обратные утверждения.

Рассмотрим из всего набора товаров только два — с номерами i и j.

*

dx

Если

няемыми. Если

няемыми. Если

*

dx

> 0, то товары i и j называются взаимозаме-< 0, то товары i и j называются взаимодопол> 0 , то обязательно найдется такой товар , для

<0 приводит к

которого уменьшение спроса на j-й товар

увеличению спроса на i-й товар. К взаимозаменяемым товарам относят, например, животное и растительное масло.

Товары и j, для которых

< 0 , образуют взаимодо-

V j ' комп

полняемую пару. Например, компенсируемое увеличение цены на бензин приводит к падению спроса на бензин и на автомобили.

Функция спроса x*(p, I) обладает свойством валовой заменимости в том случае, если с увеличением цены на любой продукт j спрос на остальные продукты не убывает, т.е.

dx*

—> 0, i Ф j.

dpj

Функция спроса x*( p, I) обладает свойством сильной валовой заменимости, если

—> 0, г Ф j.

4.10. Кривые «доход-потребление»

(4.17)

Бюджетная прямая, определяемая соотношением

pjx + p2y = I или y = x ч ,

p2 p2

и линия безразличия в оптимальной точке касаются друг друга. Если доход изменяется при постоянстве цен на товары, то бюджетная прямая сдвигается параллельно самой себе, так как тангенс угла

наклона, равный -— , остается постоянным. При этом новая бюджетная линия будет касаться новой линии безразличия в новой оптимальной точке (см. рис. 4.9, рис. 4.10). Если соединить между собой все оптимальные точки, то получим кривую «доход-потребление». Для нормальных товаров эта кривая является возрастающей.

Для каждого уровня дохода I существует оптимальный набор из двух рассматриваемых товаров. Кривой Эйнгеля называется функция уровня дохода от оптимального значения какого-либо из товаров I (x1) или I (x2). Для нормального товара пример кривой Эйн-геля представлен на рис. 4.11.

На рис. 4.12 показан пример с линиями безразличия, для которых рост дохода приводит к сокращению потребления одного из товаров. На рис. 4.11 это товар x . Такой товар называется товаром

низшей категории. К числу товаров низшей категории можно отнести овсяную кашу, дешевую колбасу или любой другой низкокачественный товар.

Вполне может оказаться, что очень бедные люди по мере роста дохода будут потреблять больше дешевой колбасы. Но при достижении определенного уровня дохода потребление дешевой колбасы может начать сокращаться.

> Пример 4.4. Функция полезности для двух товаров определяется соотношением Кобба—Дугласа u = a0xay1-a , где 0 < a < 1. Бюджетное ограничение I и цены на первый товар p1 и второй товар p2 связаны соотношением p1x + p2y < I.

Определить характеристики оптимального набора для потребителя, функции спроса на товары и построить кривую «доход-потребление» и кривую Эйнгеля.

Решение. Заменим эту задачу математического программирования задачей на условный экстремум:

а0xay1-a — max при условиях

g (x,y) = pix + p2y -1 = 0,

x > 0, y > 0.

Так как — = a0axa y a , — = a0 (1 a)xay a , то система уравdx dy

нений (4.9) и (4.10) для укороченной подозрительной точки функции Лагранжа имеет вид:

Г ay0 = Pi_ I p,x0 + p2.y0 = I.

Из первого условия следует, что

т.е. количество

x0 p1 = y0 p2

a 1 a

денег, затраченных на оба товара, обратно пропорционально степеням при соответствующих неизвестных функции Кобба— Дугласа. Подставив последнюю формулу во второе уравнение системы, получим формулы для кривых Эйнгеля:

I

a

1-a

y0.

(4.18)

Функции спроса на первый и второй товары находим из соотношений (4.18):

x{) = —; y0 = —1 ■ (4.19)

Кривую «доход-потребление» получим, разделив второе уравнение (4.19) на первое и проведя необходимые преобразования:

y0 — x(y (4.20)

a p2

Как следует из соотношений (4.18) и (4.20), кривая Эйнгеля и кривая «доход-потребление» являются прямыми линиями. Л