Раздел vii интегральное исчисление и дифференциальные уравнения 7.1. первообразная и неопределенный интеграл
Раздел vii интегральное исчисление и дифференциальные уравнения 7.1. первообразная и неопределенный интеграл
Функция F(x) называется первообразной функцией для данной функции у=Дх) на отрезке [а, Ь], если в каждой точке этого отрезка ее производная равна fix):
Fix) =/(x).
О Пример. Производная от функции х3/3 равна х2. Поэтому, по определению, функция х3/3 является первообразной для функции х2. •
Теорема о существовании первообразной. Каждая непрерывная функция имеет бесконечное множество первообразных функций, отличающихся друг от друга на постоянную величину.
Общее выражение F(x) + С для всех первообразных функций от данной функции Дх) называется неопределенным интегралом от этой функции и обозначается
J/(x)dx,
где J — знак интеграла; fix) — подынтегральная функция; fix) dx подынтегральное выражение.
7.2. Таблица основных интегралов
[xadx = -— + С (а*-1);
1 а + 1
[— lnlxl + С, f ^ lnlx + а + С;
J х J х + а
173
JVdx = ex+C;
axdx = — + C; J lna
Jsinxdx = -cosx + C;
Jcosxdx = sinx + C;
7) J-5r = tgx + C;
J COS X
8) f-^-=-ctgx + C;
J snrx
9) Jtgxdx = -ln|cosx| + C;
10) Jctgxdx = ln|sinx| + C;
11Ч r dx . x _
11) , = arcsin—іC;
1
x a
x2 a dx
= ln
4.
xz±cz
f^T = -arctg+ C; J a + x a a
j 4
j
+ C.
7.3. Свойства неопределенного интеграла
Г. Производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функции:
(J/(x)dx)' = /(X).
2°. Дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению:
d(J7(x)dx) = /(x)dx.
3°. Неопределенный интеграл от дифференциала непрерывно дифференцируемой функции равен самой этой функции с точностью до постоянного слагаемого:
Jd(p(x) = ф(х) + С.
174
4°. Постоянный множитель можно выносить за знак неопределенного интеграла:
JAf(x)dx = AJ /(x)dx.
5°. Неопределенный интеграл от алгебраической суммы конечного числа непрерывных функций равен сумме неопределенных интегралов от этих функций:
J[/i(x) + /2(х) + + f„(x)]dx = J/i(x)dx +... + J7„(x)dx.
Обсуждение Справочник по математике для экономистов
Комментарии, рецензии и отзывы