7.4. методы интегрирования

7.4. методы интегрирования: Справочник по математике для экономистов, В.И. Ермаков, 2009 читать онлайн, скачать pdf, djvu, fb2 скачать на телефон Содержит материал, позволяющий анализировать экономические задачи и осуществлять расчеты. Отражены разделы линейной алгебры, математического программирования, сетевое программирование и планирование, обработка результатов измерений, статистический анализ.

7.4. методы интегрирования

Метод разложения. Метод основан на разложении подынтегральной функции на сумму функций, каждая из которых является табличной.

О Примеры.

1. J(x + 4x)2dx J(x2 + 2х4х + x)dx З 5/2 2

= fx2dx + 2[x3/2dx + xdx = — + 2x— + — + C =

J J J 3 5/2 2

x3 4 2 г x2 ^

3 5 2

_ г dx г sin2 x + cos2 x j

2J —2 2~ = J —2 =

J sin xcos x J sin xcos x

г dx г dx _

y+ —jtgx ctgx + C. •

J cos x J sin x

Метод замены переменной. Вводят новую переменную с помощью соотношения х = ф(0 и данный интеграл преобразуют следующим образом:

jf(x)dx = jf(q>(tW(t)dt, где ф(0 — дифференцируемая функция. О Примеры.

1. Вычислить Jsin5xdx. Делаем замену переменной: х = t/5, dx = d//5. Далее имеем

f sin5xdx = f smtdt = --cost + С = --cos5x + С.

J 5J 5 5

175

2. Вычислить JxVx 2dx.

Обозначим y/x-2 = t. Тогда х 2 = t2, х = t2 + 2, dx = 2tdt. Далее имеем

JxVx 2dx = j(t2 + 2)t ■ 2tdt = 2[jt4dt + 2Jt2dt] =

= ^!+4i!+c = 2(x_2)5/2 + 4 )3/2+c.

5 3 5V ' 3V '

Метод интегрирования по частям. Интегрирование осуществляют с помощью формулы

judv = uvjvdu,

где и, v — дифференцируемые функции.

Для применения этой формулы подынтегральное выражение разбивают на две части, одну из которых принимают за и, а другую — за dv так, чтобы интеграл jvdu вычислялся проще, чем исходный.

О Пример. Вычислить J xinxdx.

1 г х2

Обозначим и lnx, dv xdx. Тогда du —dx, v xdx —.

x J 2

Далее имеем

Г і j x2, 1 rx2dx x2. 1 2 ^

xinxdx = —lnx — = —lnx —x + C. •

J 2 2J x 2 4

Интегрирование правильных рациональных дробей. Начинают

й fix)

интегрирование правильных рациональных дробей с их

Ф(х)

разложения на простейшие рациональные дроби ,

(х а)"

Ах + В ,^-1 2

где п = 1,2, 3, ... — натуральные числа; хг +рх + q

(х2 + рх + q)n

не разлагается на действительные множители, т.е. имеет только комплексно-сопряженные корни.

Простейшие рациональные дроби интегрируются с помощью следующих формул:

dx Л In їх а + С,

J х а

176

—^— <bc = т + С,

dx —In х + рх + q +

arctg

+ С.

х + рх + q Дроби вида

J (х а)" (1 и)(х а)"-1

Ах + В

2В-Ар

2х + р

2

Ах + В

V4fl Р2 V4fl Р2 интегрируют с помощью формулы

(х + рх + q)n понижения степени:

В-

Ар

х +

„2 Л

Ах + В

-dx (х + рх + q)"

2(л-1)

„2>

(х2 + /?х + о)" 1

■ +

Подпись: АрПодпись: .л-1'В 

2(л -1)

і

(2л 3)

dx

/72 V (х2 + ^х + ff)

9-

Разложение рациональных оробей на простейшие основано на том, что любой многочлен ф(х) = а0х" + а^х"'1 +... + ап может быть записан в виде произведения

Ф(х) = й0(х-х1)(х-х2) ... (х-хи), (7.1)

где Xj, х2, хп — корни уравнения ф(х) = 0.

Эти корни могут быть действительными и комплексными, значения корней в разложении (7.1) могут повторяться (кратные корни). Вместе с комплексным корнем Xj = а. + /р в выражении (7.1) имеется комплексно-сопряженный корень Xj Oij /р.. Произведение линейных множителей (х х.)(х Xj), содержащих комплексно-сопряженные корни, может быть записано в виде х2 + рх + q. Многочлен (7.1) в этом случае принимает следующий вид:

ф(х) = а0(хх^"*(х х2Г2 • • .(х xk)mk х

х (х2 + р,х + q{fk+l ■ ■ .(х2 + fix + ql)mk+l, (7.2)

где Xj, х2, xk — действительные числа; т. — кратности простых и комплексно-сопряженных корней (J = 1, 2,к +1).

Правильную рациональную дробь со знаменателем, имеющим вид (7.2), записывают как сумму простейших рациональных дробей:

177

fix)

/(*)

(p(x) fl0(x xtr • -(x2 + #x + q,)mk+l

+ ...+

■ + ...

(x XjP (x Xj)

X Xj

■gtx + q

... M , (7.3)

(X + ^X + ?j) X + P;x + 9,

Приводя правую часть выражения (7.3) к общему знаменателю и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях переменной х полученного выражения и исходной дроби, находят значения

AVA2> -' Втк+1'Стк+Г

2х2 x + 1

О Пример. Вычислить [ .

J(x-l)(x2-2x + 3)

dx.

Имеем:

Подпись: 2х х +1
Подпись: А Вх + С
+ ■
Подпись: А = В = , С = 2; dx г х + 2

■3)

(х 1)(х2 2х + 3) х -1 х2 2х + 3

dx

= ln|x-l| + j

■2х + 3

1

dx = lnlx -1| + -In x2 2x + 3 +

x-1

(1/2)(2х-2) + 3 х2 2х + 3

lnlx -1| + -1п|х2 2х + ЗІ + ^=arctg^-j=i + С. •

Интегрирование тригонометрических функций. Интегралы вида Jcosmxsin,,xdx, где т, п — натуральные числа, вычисляют в зависимости от четности степеней тип следующим образом.

178

нечетные, то используют замену переЕсли т или п менной:

t = sinx при т нечетном; t = cosx при п нечетном.

Если тип— четные, то используют формулы понижения степени:

. 2 l-cos2x 2 l + cos2x . sin2x

sm x = ; cos x ; sinx cosx .

О Примеры.

1. Jcosxsin2xdx =

t = sinx dt = cosxdx

п., t „ sm3x _

= dt = — + C = + C.

2. Jcos2xsin2xdx = J(cosxsinx)2dx =

+ C.<

x -sin4x 4

rsin22x, 1г1-со84х, 1 ^

= dx = dx =

J 4 4J 2

Интегралы вида |д(sinx, cosx)dx, где i?(sinx, cosx) — рациональная функция от sinx, cosx, приводят к интегралам от рациональных

X

dx =

sinx =

cosx =

2 '

2 2 '

l + t

l+t

функций переменной t с помощью подстановки t = tg—. Тогда:

2dt . It l-t2

l+t

О Пример.

jjx_ =r2d^) = rd/= ь Jsinf ](l + t2)-2t J t "

+ C.«

О Пример.

jWlх2 dx = х = sin/, dx = costdt = jsmtcos2tdt =

і і г 2j "3 ^ cos3? _

= cos? = u, -sintdt = du = u du = + С = -С =

1 [ J 3 3

= ^E^ + c = -^)3+c..

з 3

Справочник по математике для экономистов

Справочник по математике для экономистов

Обсуждение Справочник по математике для экономистов

Комментарии, рецензии и отзывы

7.4. методы интегрирования: Справочник по математике для экономистов, В.И. Ермаков, 2009 читать онлайн, скачать pdf, djvu, fb2 скачать на телефон Содержит материал, позволяющий анализировать экономические задачи и осуществлять расчеты. Отражены разделы линейной алгебры, математического программирования, сетевое программирование и планирование, обработка результатов измерений, статистический анализ.