7.4. методы интегрирования
7.4. методы интегрирования
Метод разложения. Метод основан на разложении подынтегральной функции на сумму функций, каждая из которых является табличной.
О Примеры.
1. J(x + 4x)2dx J(x2 + 2х4х + x)dx З 5/2 2
= fx2dx + 2[x3/2dx + xdx = — + 2x— + — + C =
J J J 3 5/2 2
x3 4 2 г x2 ^
3 5 2
_ г dx г sin2 x + cos2 x j
2J —2 2~ = J —2 =
J sin xcos x J sin xcos x
г dx г dx _
y+ —jtgx ctgx + C. •
J cos x J sin x
Метод замены переменной. Вводят новую переменную с помощью соотношения х = ф(0 и данный интеграл преобразуют следующим образом:
jf(x)dx = jf(q>(tW(t)dt, где ф(0 — дифференцируемая функция. О Примеры.
1. Вычислить Jsin5xdx. Делаем замену переменной: х = t/5, dx = d//5. Далее имеем
f sin5xdx = f smtdt = --cost + С = --cos5x + С.
J 5J 5 5
175
2. Вычислить JxVx 2dx.
Обозначим y/x-2 = t. Тогда х 2 = t2, х = t2 + 2, dx = 2tdt. Далее имеем
JxVx 2dx = j(t2 + 2)t ■ 2tdt = 2[jt4dt + 2Jt2dt] =
= ^!+4i!+c = 2(x_2)5/2 + 4 )3/2+c.
5 3 5V ' 3V '
Метод интегрирования по частям. Интегрирование осуществляют с помощью формулы
judv = uvjvdu,
где и, v — дифференцируемые функции.
Для применения этой формулы подынтегральное выражение разбивают на две части, одну из которых принимают за и, а другую — за dv так, чтобы интеграл jvdu вычислялся проще, чем исходный.
О Пример. Вычислить J xinxdx.
1 г х2
Обозначим и lnx, dv xdx. Тогда du —dx, v xdx —.
x J 2
Далее имеем
Г і j x2, 1 rx2dx x2. 1 2 ^
xinxdx = —lnx — = —lnx —x + C. •
J 2 2J x 2 4
Интегрирование правильных рациональных дробей. Начинают
й fix)
интегрирование правильных рациональных дробей с их
Ф(х)
разложения на простейшие рациональные дроби ,
(х а)"
Ах + В ,^-1 2
где п = 1,2, 3, ... — натуральные числа; хг +рх + q
(х2 + рх + q)n
не разлагается на действительные множители, т.е. имеет только комплексно-сопряженные корни.
Простейшие рациональные дроби интегрируются с помощью следующих формул:
dx Л In їх а + С,
J х а
176
—^— <bc = т + С,
dx —In х + рх + q +
arctg
+ С.
х + рх + q Дроби вида
J (х а)" (1 и)(х а)"-1
Ах + В
2В-Ар
2х + р
2
Ах + В
V4fl Р2 V4fl Р2 интегрируют с помощью формулы
(х + рх + q)n понижения степени:
В-
Ар
х +
-А
„2 Л
Ах + В
-dx (х + рх + q)"
2(л-1)
„2>
(х2 + /?х + о)" 1
■ +
В
2(л -1)
і
(2л 3)
dx
/72 V (х2 + ^х + ff)
9-
Разложение рациональных оробей на простейшие основано на том, что любой многочлен ф(х) = а0х" + а^х"'1 +... + ап может быть записан в виде произведения
Ф(х) = й0(х-х1)(х-х2) ... (х-хи), (7.1)
где Xj, х2, хп — корни уравнения ф(х) = 0.
Эти корни могут быть действительными и комплексными, значения корней в разложении (7.1) могут повторяться (кратные корни). Вместе с комплексным корнем Xj = а. + /р в выражении (7.1) имеется комплексно-сопряженный корень Xj Oij /р.. Произведение линейных множителей (х х.)(х Xj), содержащих комплексно-сопряженные корни, может быть записано в виде х2 + рх + q. Многочлен (7.1) в этом случае принимает следующий вид:
ф(х) = а0(хх^"*(х х2Г2 • • .(х xk)mk х
х (х2 + р,х + q{fk+l ■ ■ .(х2 + fix + ql)mk+l, (7.2)
где Xj, х2, xk — действительные числа; т. — кратности простых и комплексно-сопряженных корней (J = 1, 2,к +1).
Правильную рациональную дробь со знаменателем, имеющим вид (7.2), записывают как сумму простейших рациональных дробей:
177
fix)
/(*)
(p(x) fl0(x xtr • -(x2 + #x + q,)mk+l
+ ...+
■ + ...
(x XjP (x Xj)
X Xj
■gtx + q
... M , (7.3)
(X + ^X + ?j) X + P;x + 9,
Приводя правую часть выражения (7.3) к общему знаменателю и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях переменной х полученного выражения и исходной дроби, находят значения
AVA2> -' Втк+1'Стк+Г
2х2 x + 1
О Пример. Вычислить [ .
J(x-l)(x2-2x + 3)
dx.
Имеем:
■3)
(х 1)(х2 2х + 3) х -1 х2 2х + 3
dx
= ln|x-l| + j
■2х + 3
1
dx = lnlx -1| + -In x2 2x + 3 +
x-1
(1/2)(2х-2) + 3 х2 2х + 3
lnlx -1| + -1п|х2 2х + ЗІ + ^=arctg^-j=i + С. •
Интегрирование тригонометрических функций. Интегралы вида Jcosmxsin,,xdx, где т, п — натуральные числа, вычисляют в зависимости от четности степеней тип следующим образом.
178
нечетные, то используют замену переЕсли т или п менной:
t = sinx при т нечетном; t = cosx при п нечетном.
Если тип— четные, то используют формулы понижения степени:
. 2 l-cos2x 2 l + cos2x . sin2x
sm x = ; cos x ; sinx cosx .
О Примеры.
1. Jcosxsin2xdx =
t = sinx dt = cosxdx
п., t „ sm3x _
= dt = — + C = + C.
2. Jcos2xsin2xdx = J(cosxsinx)2dx =
+ C.<
x -sin4x 4
rsin22x, 1г1-со84х, 1 ^
= dx = dx =
J 4 4J 2
Интегралы вида |д(sinx, cosx)dx, где i?(sinx, cosx) — рациональная функция от sinx, cosx, приводят к интегралам от рациональных
X
dx =
sinx =
cosx =
2 '
2 2 '
l + t
l+t
функций переменной t с помощью подстановки t = tg—. Тогда:
2dt . It l-t2
l+t
О Пример.
jjx_ =r2d^) = rd/= ь Jsinf ](l + t2)-2t J t "
+ C.«
О Пример.
jWlх2 dx = х = sin/, dx = costdt = jsmtcos2tdt =
і і г 2j "3 ^ cos3? _
= cos? = u, -sintdt = du = u du = + С = -С =
1 [ J 3 3
= ^E^ + c = -^)3+c..
з 3
Обсуждение Справочник по математике для экономистов
Комментарии, рецензии и отзывы