7.8. геометрические приложения определенного интеграла

7.8. геометрические приложения определенного интеграла: Справочник по математике для экономистов, В.И. Ермаков, 2009 читать онлайн, скачать pdf, djvu, fb2 скачать на телефон Содержит материал, позволяющий анализировать экономические задачи и осуществлять расчеты. Отражены разделы линейной алгебры, математического программирования, сетевое программирование и планирование, обработка результатов измерений, статистический анализ.

7.8. геометрические приложения определенного интеграла

Площадь криволинейной трапеции, ограниченной кривой У =/(•*)> осью Ох, прямыми х = а, х = Ъ (см. рис. 7.2), находят по формуле

ъ

S = jf(x)dx.

а

182

Объем тела, образованного вращением кривой у = /(х), ограниченной прямыми х = а,х = Ь при а<х<Ъ, вокруг оси Ох, равен

ь

Vx=njy2dx.

а

Объем тела, образованного вращением кривой х = ц>(у), ограниченной прямымиy = c,y = dпри c<y<d, вокруг оси Оу, равен

d

Vy=njx2dy.

с

Длину дуги плоской кривой у = /(х), ограниченной прямыми х = а,х = Ъ, определяют по формуле

/ = JVl + (/)2 dx.

а

Площадь поверхности, образованной вращением кривой У=Лх) > ограниченной прямыми х = а,х = Ь, вокруг оси Ох, равна

^=27ijWl + (/)2dx.

а

Площадь поверхности, образованной вращением кривой х ф(у), ограниченной прямыми y = c,y = d, вокруг оси Оу, равна

Sy = 2rcJxVl + (x')2o>.

с

7.9. Несобственные интегралы

Пусть функция /(х) определена и непрерывна на промежутке

ъ

[а, +оо[ (рис. 7.3). Рассмотрим интеграл j f(x)dx. Предел

ь а lim f/(x)dx

A—V+oo *

а

называют несобственным интегралом первого рода от функции fix)

+~

на промежутке [а, +«>[ и обозначают J /(x)dx,T.e.

/(x)dx = lim [/(x)dx.

a a

183

Если указанный предел конечен, то несобственный интеграл j f(x)dx называют сходящимся; если бесконечен или не сущеа

ствует, то расходящимся.

Аналогично определяют несобственный интеграл первого рода для промежутка ]-°°, Ь] (рис. 7.4):

ъ ъ

J f(x)dx lim jf(x)dx.

Ч .У=Лх)

Пусть функция f{x) определена и непрерывна на интервале ]-°°, +°°[ и пусть точка с є ]-°°, +°°[. Тогда сумму

С +°°

j f(x)dx+ j f(x)dx (7.4)

называют несобственным интегралом первого рода от функции Дх) на интервале ]-<», +со[ и обозначают j f(x)dx. Этот интеграл

°С +~

называют сходящимся, если оба интеграла J f(x)dx, j /(x)dxcxo-oo С

дятся. В этом случае сумма (7.4) не зависит от выбора точки с. О Примеры.

f — = lim f— = lim In (интеграл расходится).

J х X А->+~

f , = lim f 4, = lim (arctgA arctga) =

2

ч t-J

л (интеграл сходится). •

184

Пусть функция Дх) определена и непрерывна при а <х < Ьи не ограничена в любой окрестности точки х = Ъ (рис. 7.5). Предел

6-Е

Urn f f(x)dx

е-»0 J

называют несобственным интегралом второго рода от функции Дх) на промежутке [а, Ь[.

О а Ъ Рис. 7.5

Если этот предел конечен, то несобственный интеграл

* Ъ-г

f(x)dx lim f f(x)dx

J є->0 J

a a

называют сходящимся; если бесконечен или не существует, то расходящимся.

Аналогично определяют несобственные интегралы от функций,

определенных и непрерывных при а<х<Ь (рис. 7.6):

ь ь

f(x)&x lim f f(x)dx.

J є-»о J

a o+e

Пусть функция Дх) определена и непрерывна на отрезке [а, Ь], за исключением точки с є ]а, Ь[, в любой окрестности которой она не ограничена (рис. 7.7). Тогда несобственный интеграл от этой функции определяется как сумма двух несобственных интегралов на промежутках [а, с[ и ]с, Ь.

Ь с Ь

f(x)dx = f(x)ux + f(x)dx.

а а с

Этот интеграл сходится, если оба слагаемых сходятся.

185

Справочник по математике для экономистов

Справочник по математике для экономистов

Обсуждение Справочник по математике для экономистов

Комментарии, рецензии и отзывы

7.8. геометрические приложения определенного интеграла: Справочник по математике для экономистов, В.И. Ермаков, 2009 читать онлайн, скачать pdf, djvu, fb2 скачать на телефон Содержит материал, позволяющий анализировать экономические задачи и осуществлять расчеты. Отражены разделы линейной алгебры, математического программирования, сетевое программирование и планирование, обработка результатов измерений, статистический анализ.