7.8. геометрические приложения определенного интеграла
7.8. геометрические приложения определенного интеграла
Площадь криволинейной трапеции, ограниченной кривой У =/(•*)> осью Ох, прямыми х = а, х = Ъ (см. рис. 7.2), находят по формуле
ъ
S = jf(x)dx.
а
182
Объем тела, образованного вращением кривой у = /(х), ограниченной прямыми х = а,х = Ь при а<х<Ъ, вокруг оси Ох, равен
ь
Vx=njy2dx.
а
Объем тела, образованного вращением кривой х = ц>(у), ограниченной прямымиy = c,y = dпри c<y<d, вокруг оси Оу, равен
d
Vy=njx2dy.
с
Длину дуги плоской кривой у = /(х), ограниченной прямыми х = а,х = Ъ, определяют по формуле
/ = JVl + (/)2 dx.
а
Площадь поверхности, образованной вращением кривой У=Лх) > ограниченной прямыми х = а,х = Ь, вокруг оси Ох, равна
^=27ijWl + (/)2dx.
а
Площадь поверхности, образованной вращением кривой х ф(у), ограниченной прямыми y = c,y = d, вокруг оси Оу, равна
Sy = 2rcJxVl + (x')2o>.
с
7.9. Несобственные интегралы
Пусть функция /(х) определена и непрерывна на промежутке
ъ
[а, +оо[ (рис. 7.3). Рассмотрим интеграл j f(x)dx. Предел
ь а lim f/(x)dx
A—V+oo *
а
называют несобственным интегралом первого рода от функции fix)
+~
на промежутке [а, +«>[ и обозначают J /(x)dx,T.e.
/(x)dx = lim [/(x)dx.
a a
183
Если указанный предел конечен, то несобственный интеграл j f(x)dx называют сходящимся; если бесконечен или не сущеа
ствует, то расходящимся.
Аналогично определяют несобственный интеграл первого рода для промежутка ]-°°, Ь] (рис. 7.4):
ъ ъ
J f(x)dx lim jf(x)dx.
Ч .У=Лх)
Пусть функция f{x) определена и непрерывна на интервале ]-°°, +°°[ и пусть точка с є ]-°°, +°°[. Тогда сумму
С +°°
j f(x)dx+ j f(x)dx (7.4)
называют несобственным интегралом первого рода от функции Дх) на интервале ]-<», +со[ и обозначают j f(x)dx. Этот интеграл
°С +~
называют сходящимся, если оба интеграла J f(x)dx, j /(x)dxcxo-oo С
дятся. В этом случае сумма (7.4) не зависит от выбора точки с. О Примеры.
f — = lim f— = lim In (интеграл расходится).
J х X А->+~
f , = lim f 4, = lim (arctgA arctga) =
2
ч t-J
л (интеграл сходится). •
184
Пусть функция Дх) определена и непрерывна при а <х < Ьи не ограничена в любой окрестности точки х = Ъ (рис. 7.5). Предел
6-Е
Urn f f(x)dx
е-»0 J
называют несобственным интегралом второго рода от функции Дх) на промежутке [а, Ь[.
О а Ъ Рис. 7.5
Если этот предел конечен, то несобственный интеграл
* Ъ-г
f(x)dx lim f f(x)dx
J є->0 J
a a
называют сходящимся; если бесконечен или не существует, то расходящимся.
Аналогично определяют несобственные интегралы от функций,
определенных и непрерывных при а<х<Ь (рис. 7.6):
ь ь
f(x)&x lim f f(x)dx.
J є-»о J
a o+e
Пусть функция Дх) определена и непрерывна на отрезке [а, Ь], за исключением точки с є ]а, Ь[, в любой окрестности которой она не ограничена (рис. 7.7). Тогда несобственный интеграл от этой функции определяется как сумма двух несобственных интегралов на промежутках [а, с[ и ]с, Ь.
Ь с Ь
f(x)dx = f(x)ux + f(x)dx.
а а с
Этот интеграл сходится, если оба слагаемых сходятся.
185
Обсуждение Справочник по математике для экономистов
Комментарии, рецензии и отзывы