7.16. разностные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений
7.16. разностные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений
Разностные методы решения дифференциальных уравнений — это способы вычисления значений искомого решения у(х) на некоторой сетке значений аргумента.
Разностные методы позволяют находить только конкретное (частное) решение, например решение задачи Копій. Тем не менее
203
в настоящее время это основные методы решения дифференциальных уравнений с помощью ЭВМ.
Одним из простейших разностных методов является метод ломаных, или метод Эйлера.
Пусть требуется решить задачу Коши для уравнения первого порядка
У'= Ах, у), у(х0)=у0
на отрезке [х0, xN].
На данном отрезке выбирают некоторую сетку значений аргумента х0, JCj,xN, для которых вычисляют значения функцийу по схеме
Уп+1 =У« + hnf(Xn> У г)' К = Хп+1 Хп>
где п = 0, 1, ...,N-1.
Этот метод дает хорошее приближение к решению только для достаточно малых hn.
Модификации этого метода определяются следующими формулами:
Уп+1 = Уп + К/ К
Уп+1 = Уп + -f{f(xn> Уп) + Л*л+і> Уп + уп)К)Более высокую точность обеспечивает метод Рунге — Кутта. Чаще всего применяют следующую схему указанного метода:
Уп+1 = Уп + у (*i + 2*2 + 2*з + k4),
(7.23)
где
2"" 2 kA= f(xn+hn,yn + hnk3).
2 2
При решении конкретных задач используют также и другие разностные методы.
О Пример. Решить задачу Коши методом Рунге — Кутта для дифференциального уравнения у' = х2 + у2, у(0) = 1 на отрезке [0; 0,7].
204
Выберем шаг h = 0,1. Используя формулы (7.23), получаем сле-дущие значения функции у на сетке значений х:
x | 0 | 0,1 | 0,2 | 0,3 | 0,4 | 0,5 | 0,6 | 0,7 |
У | 1 | 1,11 | 1,25 | 1,44 | 1,7 | 2,07 | 2,64 | 3,65 |
Раздел VIII РЯДЫ
8.1. Сумма числового ряда
Выражение
ах + 02 +... + а„ + ... = £а„,
л=1
где av а2,ап,... — некоторые числа, называют числовым рядом. Числа av а2,ап,... — члены ряда.
Для каждого числового ряда Т^о„ можно построить последовали
тельность его частичных сумм S :
s» = ai + a2+ + ап> п=1>2>
О Пример. Для ряда
°° 1
У—4-І А.
1 1 1
+ +... + +... =
1-2 2-3 n(n + l) „Ti«(« + l) получим следующие частичные суммы:
1 1-2 2
с 1 1 1 1 1 1 1 1
Sj = — + — = 1 — + = 1--;
2 1-2 2-3 2 2 3 3
" 1-2 2-3 "' л(и + 1)
,111 11,1
= 1-+ + ... + = 1с 1 1 1
S„ = — + — + ...+ ■
2 2 3 и и+1 я+1 Конечный предел S последовательности частичных сумм ряда
называют суммой ряда.
п=
О Пример. Сумма ряда н +... н +... равна еди1-2 2-3 п(п +1)
нице, так как 206
lim Sn lim
Л-»°° Л-»°°
1-
И + 1
= 1.
Если S — сумма ряда ^ an, то число rn = S-Sn называют octnamл=1
колі дода. Так как lim rn = О, то при достаточно большом п
л
Числовой ряд называют сходящимся, если он имеет сумму, и расходящимся в противном случае.
Примеры.
г „,11 1
Гармонический ряд 1 + — + + ... + — + ... расходится.
2 3 л
Геометрическая прогрессия a + aq + aq^ +... + од" +... (а * 0) сходится при q < 1 и расходится приq\> 1. Еслиq < 1, то а + aq +
+ aqz +... + aq" 1 +... = .
-q
„ ^r r „11 1
Обобщенно гармонический ряд 1 + 1-... сходитla 2а па
ся при а > 1 и расходится при a < 1.
+ + + (-І)""1+... = 1п2.
3 4 л
5. 1-+ + ... + (-1)" 1 + ... = —.
5 7 2л-1 4
,,11 1 я2
22 З2 и2 6
1+ + ... + (-1)"-1 + ... = —.
22 З2 42 и2 12
— + — + ... + —+ ... = е-1.* 1! 2! л!
Обсуждение Справочник по математике для экономистов
Комментарии, рецензии и отзывы