7.16. разностные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений

7.16. разностные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений: Справочник по математике для экономистов, В.И. Ермаков, 2009 читать онлайн, скачать pdf, djvu, fb2 скачать на телефон Содержит материал, позволяющий анализировать экономические задачи и осуществлять расчеты. Отражены разделы линейной алгебры, математического программирования, сетевое программирование и планирование, обработка результатов измерений, статистический анализ.

7.16. разностные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений

Разностные методы решения дифференциальных уравнений — это способы вычисления значений искомого решения у(х) на некоторой сетке значений аргумента.

Разностные методы позволяют находить только конкретное (частное) решение, например решение задачи Копій. Тем не менее

203

в настоящее время это основные методы решения дифференциальных уравнений с помощью ЭВМ.

Одним из простейших разностных методов является метод ломаных, или метод Эйлера.

Пусть требуется решить задачу Коши для уравнения первого порядка

У'= Ах, у), у(х0)=у0

на отрезке [х0, xN].

На данном отрезке выбирают некоторую сетку значений аргумента х0, JCj,xN, для которых вычисляют значения функцийу по схеме

Уп+1 =У« + hnf(Xn> У г)' К = Хп+1 Хп>

где п = 0, 1, ...,N-1.

Этот метод дает хорошее приближение к решению только для достаточно малых hn.

Модификации этого метода определяются следующими формулами:

Уп+1 = Уп + К/ К

Уп+1 = Уп + -f{f(xn> Уп) + Л*л+і> Уп + уп)К)Более высокую точность обеспечивает метод Рунге — Кутта. Чаще всего применяют следующую схему указанного метода:

Уп+1 = Уп + у (*i + 2*2 + 2*з + k4),

(7.23)

где

Подпись: к2 = 4хп+^,Уп+^Подпись: К =ЯХп>Уп)>2"" 2 kA= f(xn+hn,yn + hnk3).

2 2

При решении конкретных задач используют также и другие разностные методы.

О Пример. Решить задачу Коши методом Рунге — Кутта для дифференциального уравнения у' = х2 + у2, у(0) = 1 на отрезке [0; 0,7].

204

Выберем шаг h = 0,1. Используя формулы (7.23), получаем сле-дущие значения функции у на сетке значений х:

x

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

У

1

1,11

1,25

1,44

1,7

2,07

2,64

3,65

Раздел VIII РЯДЫ

8.1. Сумма числового ряда

Выражение

ах + 02 +... + а„ + ... = £а„,

л=1

где av а2,ап,... — некоторые числа, называют числовым рядом. Числа av а2,ап,... — члены ряда.

Для каждого числового ряда Т^о„ можно построить последовали

тельность его частичных сумм S :

s» = ai + a2+ + ап> п=1>2>

О Пример. Для ряда

°° 1

У—4-І А.

1 1 1

+ +... + +... =

1-2 2-3 n(n + l) „Ti«(« + l) получим следующие частичные суммы:

1 1-2 2

с 1 1 1 1 1 1 1 1

Sj = — + — = 1 — + = 1--;

2 1-2 2-3 2 2 3 3

" 1-2 2-3 "' л(и + 1)

,111 11,1

= 1-+ + ... + = 1с 1 1 1

S„ = — + — + ...+ ■

2 2 3 и и+1 я+1 Конечный предел S последовательности частичных сумм ряда

называют суммой ряда.

п=

О Пример. Сумма ряда н +... н +... равна еди1-2 2-3 п(п +1)

нице, так как 206

lim Sn lim

Л-»°° Л-»°°

1-

И + 1

= 1.

Если S — сумма ряда ^ an, то число rn = S-Sn называют octnamл=1

колі дода. Так как lim rn = О, то при достаточно большом п

л

Числовой ряд называют сходящимся, если он имеет сумму, и расходящимся в противном случае.

Примеры.

г „,11 1

Гармонический ряд 1 + — + + ... + — + ... расходится.

2 3 л

Геометрическая прогрессия a + aq + aq^ +... + од" +... (а * 0) сходится при q < 1 и расходится приq\> 1. Еслиq < 1, то а + aq +

+ aqz +... + aq" 1 +... = .

-q

„ ^r r „11 1

Обобщенно гармонический ряд 1 + 1-... сходитla 2а па

ся при а > 1 и расходится при a < 1.

+ + + (-І)""1+... = 1п2.

3 4 л

5. 1-+ + ... + (-1)" 1 + ... = —.

5 7 2л-1 4

,,11 1 я2

22 З2 и2 6

1+ + ... + (-1)"-1 + ... = —.

22 З2 42 и2 12

— + — + ... + —+ ... = е-1.* 1! 2! л!

Справочник по математике для экономистов

Справочник по математике для экономистов

Обсуждение Справочник по математике для экономистов

Комментарии, рецензии и отзывы

7.16. разностные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений: Справочник по математике для экономистов, В.И. Ермаков, 2009 читать онлайн, скачать pdf, djvu, fb2 скачать на телефон Содержит материал, позволяющий анализировать экономические задачи и осуществлять расчеты. Отражены разделы линейной алгебры, математического программирования, сетевое программирование и планирование, обработка результатов измерений, статистический анализ.