8.7. степенные ряды

8.7. степенные ряды

Функциональный ряд а0 + flj(x с) + a2ix с)1 +... + anix с)" +... ^ а„(х с)п, (8.6)

л=0

где ап in = 1, 2, ...) и с — некоторые числа, называют степенным рядом с центром в точке с.

Возможны лишь следующие три случая:

степенной ряд (8.6) сходится только при х = с івсюдурасходящийся ряд);

степенной ряд (8.6) сходится (притом абсолютно) при любом значении х івсюду сходящийся ряд);

212

3) существует число R > О такое, что ряд (8.6) сходится абсолютно при |х с| < R и расходится при |х с > R (R — радиус сходимости ряда).

Кроме того, считают:

R-0 для всюду расходящегося ряда;

R = +°° для всюду сходящегося ряда.

Интервал ]c-R,c + R[,R> 0, называют интервалом сходимости степенного ряда (8.6). На концах интервала сходимости степенной ряд может как сходиться, так и расходиться.

О Пример. Найти область сходимости (см. п. 8.5) степенного ряда

х Xі х"

+ т +... + +....

1-2 2 22 й-2"

I |И I |И+1

„ X X ^

Положим ип = -LJ—, ип+1 —— —г. Тогда

" пТ п+1 (и + 1)-2и+1

lim Uj^L lim———-— ° lim

n^>°° (n +1) • 2"+1 x\" 2 «->n +1 2

По признаку Даламбера (см. п. 8.3) степенной ряд сходится

абсолютно при |х| < 2, а при |х| > 2 абсолютной сходимости у него

нет. Следовательно, радиус сходимости ряда R = 2. Исследуем

сходимость ряда на концах интервала сходимости: при х = 2

,111 111

ряд 1 + + + ... + — +... расходится, а при х = -2 ряд — + +

2 3 и 12 3

п 1

+ ... + (-1) —+ ... сходится. Таким образом, область сходимости и

степенного ряда Q = [-2, 2[. •

Основные свойства степенных рядов:

Г. Если степенной ряд не является всюду расходящимся, то его сумма непрерывна в каждой точке области сходимости.

2°. Степенной ряд внутри его области сходимости можно интегрировать почленно, так что если

а0 + ах(х с) + а2(х с)2 +... + ап(х с)" +... = /(х), х є Q,

то

. . (х-с)2 (х-с)3 (х-с)й+1 . .

Оо(х с) + fl/ + V з + + °п + = J f(x)dx.

с

213

3°. Степенной ряд внутри интервала сходимости можно дифференцировать почленно, так что если

а0 + Cj(x с) + а2(х с)2 +... + ап(х с)" +... =ftx),

xe]c-R,c + R[, R>0,

то

flj + 2а2(х с) +... + яал(х с)"-1 +... = /'(х),

хє ]c-R,c + R[.

Это утверждение сохраняет силу и для конца интервала сходимости, если только последний ряд на этом конце сходится. 4°. Если степенной ряд

aQ + а,(х с) + а2(х с)2 +... + ай(х с)" +...

не является всюду расходящимся, то его сумма /(х) имеет внутри интервала сходимости производные всех порядков. При этом

f"(c) f(n)(c)

flb=/(c), <К=ПС), "2=4^-, .... ап=—^' -■