8.10. ряды фурье

8.10. ряды фурье

Пусть /(х) — некоторая периодическая функция с периодом Т2л. Тригонометрический ряд

— + ^(а„ cosnx + Ъп sinrac)

2 и=1

называется рядом Фурье для функции f(x), если

Oq = — f(x)dx, ап = — /(x)cosnxdx,

л J л J

-тс -тс

71

Ъп = — /(x)sin/Dcdx (л 1,2,...).

л J

-тс

Свойства рядов Фурье:

Г. Если функция /(х) — ч е т н а я, то

Ьп = 0 (л = 1,2,...), 271

ап= — f(x)cosnxdx (л = 0, 1, 2, ...). л

о

2°. Если функция/(х) — нечетная, то ап = 0 (л = 0,1,2,...),

к

Ъп = — f(x)smnxdx (л = 1,2,...). л

о

3°. В точке х0, где функция /(х) дифференцируема или по крайней мере имеет конечные односторонние пределы

Цт/(*о +0-Я*о) и lim/(3tb+0-/(3tb)>

ґ->-Ю / ґ->-0 f

ряд Фурье для функции /(х) сходится, причем его сумма равна/(х0). В противном случае сумма этого ряда Фурье может быть отличной от/(х0).

4°. Если функция f{x) периодическая с периодом Т= 21, то ее ряд Фурье имеет вид

an ллх , . ллхЛ

f + I[«„cos+ *„srn-j,

л=1

1 f ,. . , If,. . ЛЛХ , , If,. . віпллх ,

где а0 = J /(x)dx, ап = J /(x)cos—dx, 6Й = J Дх)—-—dx

-і -і 1 -і 1

(n =1,2,...).

216

5°. Если функция fix) задана на конечном интервале ]-/, /[, то для того чтобы разложить ее в ряд Фурье, необходимо предварительно построить функцию ф(х) с периодом Т= 21 такую, что

ф(х) = fix) при -1<х<1.

Если функцию ф(х) можно разложить в ряд Фурье, то на интервале ]-/, /[ этот ряд будет рядом Фурье для функции fix).

О Пример. Разложить в ряд Фурье периодическую функцию fix) с периодом Т= 21, если

/(*) =

х, 0 < х < /, 1-х, -I <х< 0.

Так как функция /(х) является четной, то й„ = 0 (л = 1,2,...),

а„ =

= |j/(x)dx = ! Jxdx = у •

Zf... ЛЛХ , Z г ллх ,

/(x)cos dx = xcos dx =

Отсюда

nnx

sin2 1 Г л

= xd

2 І лях

cos

пк пк I

a„ =

-4//(лл)2

ЛЛХ

xsin■J

лях ,

sin dx

/

■[(-1)"-!].

(my

если я — четное; , если п — нечетное.

Таким образом,

кх

Злх

5кх

cos

cos

COS

/(Х)=2-ё

217

8.11. Приложения рядов

1. С помощью рядов можно приближенно вычислять различные постоянные величины.

Для того чтобы вычислить некоторую постоянную S, необходимо ее представить в виде суммы числового ряда S = а, + а2 + ... + + ап +... и положить

S~Sn = a1 + a2 + ... + an.

При достаточно большом я остаток rn = S-Sn станет сколь угодно малым, так что Sn воспроизведет S с любой наперед заданной точностью.

О Пример. Вычислить l/Ve с точностью 0,005. Так как

2 3

ех =1 + JC + \% + fr + -» -°°<х<+°°,

то

і 4 і і і і і

= Є 2 = 1 + ^ = + ■

у[ё 2 22 2 ! 23-3! 24-4!

Полученный числовой ряд удовлетворяет условиям теоремы Лейбница (см. п. 8.4). Поэтому для остатка справедлива оценка

n\< an+v Значит, |г3| < ^4 ^ < 0,003. Поэтому с нужной точностью

имеем

-}= = 1-+ ^ ^— = 0,604.»

Ve 2 22-2! 23-3!

2. Ряды применяют для приближенных вычислений определенных

t

интегралов. Для вычисления jf(x)dx необходимо подынтеграль0

ную функцию /(х) разложить в степенной ряд. Если

f(x) = а0 + а,х + а2х2 +... + апх" +-R<x<R,

то при -R<t<R степенной ряд можно интегрировать почленно. Получим

' t2 t3 tn+1

j f(x)dx = OQt + ax у + 02 у +... + an —— +

218

откуда jf(x)dx можно вычислить с любой наперед заданной точ0

ностью.

О Пример. Рассмотрим интеграл вероятностей

/ х'

1 ' -— 2 Ф(0 = -== Г е 2 dx = -== І е 2 dx.

Так как

то

2 3 X X

;*=l + x +— + — + ..., -oo < x <+°°, 2! 3!

x

Ф(0 = -^= І e 2 dx =

yj2n q v27i

f3 f7

f + = 5 + ...

3-2 5-22-2! 7-23-3!

с помощью рядов можно интегрировать некоторые дифференциальные уравнения. Если, например, необходимо найти решение дифференциального уравнения у'=Дх, у) такое, что у(х0) = у0, то это решение можно искать в виде ряда Тейлора (см. п. 8.8)

у(х) = у(х0) + /(х0)(х х0) + ^-^-(х х0)2 +

где у(х0) = у0, у'(х0) = Дх0, у0), а дальнейшие производные у{пх0) последовательно находят с помощью дифференцирования уравнения у'=fix, у) и подстановки вместо х числах0.

Ряды Фурье позволяют выделить периодические (сезонные) колебания, свойственные многим экономическим явлениям. Для изучения периодических колебаний некоторого экономического показателя fit), зависящего от времени, функцию fit) раскладывают в

ряд Фурье — + ^(а„ cosnt + Ъп sinnt) (для практических целей до2 и=1

статочно рассмотреть лишь несколько первых членов этого ряда).

Чаще всего сама функция f(t) неизвестна, известен лишь конечный набор ее значений fit,), f(t2), ... . В этом случае приходится вычислять коэффициенты ряда Фурье приближенно. Для приближенных вычислений коэффициентов ряда Фурье существует большое количество различных методов.