Раздел xi графы и сети 11.1. основные понятия теории графов

Раздел xi графы и сети 11.1. основные понятия теории графов

Граф G — это совокупность двух конечных множеств: множества точек, которые называются вершинами, и множества пар вершин, которые называются ребрами. На рис. 11.1 изображен граф, имеющий пять вершин и шесть ребер.

Если рассматривается множество упорядоченных пар точек, т.е. на каждом ребре задается направление, то граф G называется ориентированным. В противном случае граф (7 называется неориентированным.

Ребра, имеющие одинаковые концевые вершины, называются параллельными. Ребро, концевые вершины которого совпадают, называется петлей. На рис. 11.1 ос4 и ос5 — параллельные ребра, а ос2 — петля.

Вершина и ребро называются инцидентными друг другу, если вершина является для этого ребра концевой точкой. На рис. 11.1 вершина р3 и ребро а3 инцидентны друг другу.

Две вершины, являющиеся концевыми для некоторого ребра, называются смежными вершинами. Два ребра, инцидентные одной и той же вершине, называются смежными ребрами. На рис. 11.1 pvp2 — смежные вершины, а ар а4 — смежные ребра.

307

Степенью вершины называется число ребер, инцидентных ей. Вершина степени 1 называется висячей, а вершина степени 0 — изолированной. На рис. 11.1 степень вершины рх равна трем, р4 — висячая вершина, &р5 — изолированная.

Теорема. В графе G сумма степеней всех его вершин — число четное, равное удвоенному числу ребер графа:

п

Хстеп.д;= 2т, (П.1)

где и — число вершин графа, aw — число его ребер.

Теорема. Число нечетных вершин любого графа, т.е. вершин, имеющих нечетную степень, четно.

Граф G называется полным, если любые две его различные вершины соединены ребром и он не содержит параллельных ребер.

Дополнением графа G называется граф G с теми же вершинами, что и граф G, и содержащий только те ребра, которые нужно добавить к графу G, чтобы получился полный граф.

Путем в графе называется такая последовательность ребер, ведущая от некоторой начальной вершины рх в конечную вершину рп, в которой каждые два соседних ребра имеют общую вершину и никакое ребро не встречается более одного раза. Например, в графе, изображенном на рис. 11.1, последовательность ребер (ос15 а2, а3, а4, а5, ос6) образует путь, ведущий от вершины рх к вершине^.

308

Циклом называется путь, начальная и конечная вершины которого совпадают. Нарис. 11.1 ребра (av а3, а4) образуют цикл. Цикл графа G называется простым, если он не проходит ни через одну вершину G более одного раза.

Длиной пути (или цикла) называется число ребер этого пути (или цикла).