12.3. интерполяционная формула лагранжа

12.3. интерполяционная формула лагранжа

Пусть поставлена задача о построении функции такой, что L(xk) = f(xk), к=0, 1, 2, п. Часто такие функции строят в виде обыкновенных многочленов

L(x) = aQ + аух + ар2 +... + а^х".

Чтобы найти коэффициенты а. интерполирующего многочлена возможно низшей степени, принимающего в точках х0, xv хп заданные значения, нужно решить систему уравнений относительно а:.

\% + 0Л> + «2*0 + + апхо = Уо> а0 + ауХу + OjXj2 +... + апх" уи я0 + ахх2 + ajxl +... + апхпг = у2,

(12.1)

а0 + аххп + с^х2 +... + апхпп = уп,

теу(=Дхг) (г = 0, 1, 2,л).

Многочлен, коэффициенты которого определяются из системы (12.1), называется интерполяционным многочленом Лагранжа Ln(x) для функции f(x) и может быть записан в виде

L ф = у (.x-x0)(x-x1)--ix-xi_1Xx-xi+ly-jx-xn) Интерполяционная формула Лагранжа при я = 2 имеет вид

т ,y4 _ v (Х-Х1)(Х-Х2) (Х-Х0)(Х-Х2)

^2Х) SO , ч/ ч + Уі / ч/ ч +

хо — *і)(*о — х2) (*1 — Х0)(Ху — х2)

+ У2

(x-x^jx-xj

{Х2 — Xq)(x2 — Ху)

335

при я = 3 формула имеет вид

т . . (х-х,)(х-х2)(х-х3) (х-х0)(х-х2)(х-х3)

Щх) = у0 — — — — + ух — — — — +

(х0 — х1)(х0 — x2)(xQ — х3) (xj — х0)(х1 — X2)(Xj — х3)

(х-х0)(х-х1)(х-х3) (х-х0)(х-х1)(х-х2) (х2 — х0)(х2 — Xj)(x2 — х3) (х3 — х0)(х3 — Xj)(x3 — х2)

О Пример. Построить многочлен наименьшей степени, принимающий в точках х0 = 1, х1 = 3, х2 = 6 значения функции у0 = 10,

^ = 16,^ = 4.

Подставляя данные значения в интерполяционную формулу L2(x), имеем

^V а-з)о-6) (з-1)(з-б) (6-1X6-3)'

Z2(x) = 2,8-8,6x-l,4x2. •

Заметим, что если функция/(х) задана аналитически и имеет в рассматриваемом интервале достаточное число непрерывных производных, то погрешность, получающаяся от замены /(х) интерполяционным многочленом Лагранжа, равна

/(X) ых) = (*-*0)(*-*l)-(*-*„)

(и +1)!

где І; — некоторое промежуточное значение между наибольшим и наименьшим из чисел х, х0, xv хи.