12.4. интерполяционные формулы ньютона

12.4. интерполяционные формулы ньютона: Справочник по математике для экономистов, В.И. Ермаков, 2009 читать онлайн, скачать pdf, djvu, fb2 скачать на телефон Содержит материал, позволяющий анализировать экономические задачи и осуществлять расчеты. Отражены разделы линейной алгебры, математического программирования, сетевое программирование и планирование, обработка результатов измерений, статистический анализ.

12.4. интерполяционные формулы ньютона

В том случае, когда интерполяционные узлы находятся на равном расстоянии, опираясь на понятие конечных разностей, интерполяционный многочлен можно найти по формуле

Рп(х) = У0 + qAy0 + ^^А + ...+ ^-1)~<?-П + 1)А»у0, (12.2)

где q = (х х0)/л. Здесь й = х.+1 х. — шаг заданной таблицы значений/(х).

336

Формула (12.2) называется интерполяционной формулой Ньютона, ее используют для интерполирования при значениях аргумента, расположенных в начале таблицы.

При п = 1 имеем формулу линейного интерполирования

а при и = 2 — формулу квадратичного интерполирования

У = Уо + ^ЇГ^* *о) + У2~2Л + У°(х х0)(х ху). п 2п

Погрешность приближения функции интерполяционным многочленом Ньютона (12.2) степени и вычисляют по формуле

An+1v

ад = f{x) Р„(х) —^q(q D-(q п). (12.3) (Я +1)!

В частности, для линейной интерполяции (и = 1) формула погрешности (12.3) имеет вид

ад«^<7(<7-і).

Для интерполирования в конце таблицы удобно использовать вторую формулу Ньютона, а именно:

Р„(х) = У„ + <7ЛЛ-1 + Л V2 +

+ *д + № + 2)АЗу^ + + g(g + + 2)-(g + я -1) д,уо- (12 4)

При применении формулы Ньютона (12.2) удобнее использовать горизонтальную таблицу разностей (см. табл. 12.1), в этом случае необходимые значения разностей функции находятся в соответствующей горизонтальной строке таблицы.

Для формулы (12.4) составляют диагональную таблицу разностей (см. табл. 12.2).

Если из таблицы разностей будет обнаружено, что к-е разности функции для равноотстоящих значений аргумента постоянны, то интерполяционную формулу Ньютона (12.2) можно использовать в качестве эмпирической формулы, а вычисление разностей прекратить.

337

О Пример 1. Построить эмпирическую формулу для функции у, заданной таблицей:

xi

0

1

2

3

4

Уі

13

20

26

31

35

Составим таблицу разностей для заданных х(. и у. (табл. 12.3).

Как видим, вторые разности А2у постоянны. Используя интерполяционную формулу Ньютона (12.2) и учитывая, что в данном примере h = 1, q = х, имеем

у = 13 + 7х-*(*~1), или 13 + 7,5х-0,5х2=у. •

О Пример 2. Найти с точностью до Ю-5 значения функции у при х = 1,05 и х = 1,25, если известно, что

X,

1

1,1

1,2

1,3

Уі

0,84147

0,89121

0,93204

0,96356

Составим таблицу конечных разностей (табл. 12.4). Это горизонтальная таблица конечных разностей. Табличные разности записываем целыми числами в единицах последнего знака без нулей впереди.

338

Так как х = 1,05 находится между 1 и 1,1, т.е. в начале табл. 12.4, то воспользуемся первой формулой Ньютона (12.2).

В данном случае h = 0,1, xQ = 1, х=1,05, q= (x-x0)/h = 0,5. Далее имеем

у = 0,84147 + 0,5 • 0,04974 + °'5^ ~ ^ (-0,00891) +

+ 0'5(0'5-р(°'5-2)(-0,00040) = 0,867429, 6

у(1,05) = 0,86743.

Определим теперьу(1,25). Таккакх= 1,25 заключено между 1,2 и 1,3, т.е. находится в конце таблицы, то для вычислений пользуемся второй формулой Ньютона (12.4). Таблицу конечных разностей в этом случае удобнее записывать в виде диагональной таблицы (табл. 12.5).

Таблица 12.5

X

У

Ау

А2у

А3у

1

1,1

1,2 1,3

0,84147 0,89121 0,93204 0,96356

4974 4083 3152

-891 -931

-40

В данном случае h = 0,1, х0 = 1,3, х = 1,25, q= (х-xQ)/h = -0,5. Далее имеем

у(1,25) = 0,96356 0,5 • 0,03152 + ~°'5(~°'5 +^(-0,00931) +

+

-0,5(-0,5 + 1)(-0,5 + 2)

(-0,00040) = 0,948989,

у(1,25) = 0,94899.

12.5. Интерполяционные формулы Стирлинга и Бесселя

При интерполировании значений функции, находящихся в середине таблицы, для значенийх, близких кхк, используют:

формулу Стирлинга приq\< 0,25;

формулу Бесселя при 0,25 < q < 0,75.

339

В этом случае исходное значение функции обозначают через у0 и считают индексы вниз и вверх от нуля, как показано в табл. 12.6.

Таблица 12.6

Индекс

X.

Уг

Ау

А2у

д3у

A5j>

A6y

A7y

aV

-4

У^

-3

х_3

У-ъ

ду-з

A3J_4

-2

Х-2

У-2

*У-2

а2у_3

A3J_3

A4JU

A5^

-1

х-1

У-1

Av-i

а2у_2

^У-2

AV_3

A6J_4

A7JU

0

хо

Уо

АУ0

AV_!

а3У_!

A5y_2

aV3

aV3

A8y_4

1

х1

Уі

аЧ

a

av_!

aV_2

2

Х2

У2

А>>2

а

A3^

3

хъ

Уз

*Уз

4

Х4

Уа

Формула Стерлинга имеет вид

_. . Ay, + Ау0 q2 . 2 q(q2 -1) A3y_2 + А3 у,

P(x) = y0 + q l2 0 + у a 2y_x + *v*3! ^ 22 ^ 1 +

+

-A>_2 + 5!

gV-DA4,. , g(g2-l)(g2-22) A5j;_3+AV2

4!

+

+ gV-l)(g2-22) 6

6! У~ъ , q2(q2-l)(q2-22)-(q2-(n-l)2) 2

■ T .... ii ,

(2л)!

где# = (х-х0)/й. 340

Формула Бесселя имеет вид

Уо+Уі

g(g-l) А2з;_1 + А2у0

Р(х) = ^-^+ q-Ау0 +

2 2 J z z

(g-l/2)g(g-l)A3 g(g-l)(g + l)(g~2) AVa + AVt

З! 1 4! 2

(g-l/2)g(g-l)(g + l)(g-2) 5

5! 2 g(g2 l)(g2 22)(g 3) A6y_3 + A6y_2 6! 2 , g(g2 ~D(g2 -22)-• -(g-n)(q + П-Ї) A2ny_n + а2"у_и+1 ; (2и)! 2

(g l/2)g(g2 l)(g2 22)■ -(g n)(q + n -1) 2и+1 (2л+ 1)!

rfleg = (x-x0)/A.

При g = 1/2 формула Бесселя значительно упрощается и называется формулой интерполирования на середину:

р(х) = Уо+Уі _ I а2у_! + а2у0 J_ а4у_2 + A4y_t _

2 8 2 128 2

5 аУ3+А6у_2 | ^

1024

„ [13 5-(2и-1)]2 А2пу_п + А2"у_п+1 22й(2л)! 2

Справочник по математике для экономистов

Справочник по математике для экономистов

Обсуждение Справочник по математике для экономистов

Комментарии, рецензии и отзывы

12.4. интерполяционные формулы ньютона: Справочник по математике для экономистов, В.И. Ермаков, 2009 читать онлайн, скачать pdf, djvu, fb2 скачать на телефон Содержит материал, позволяющий анализировать экономические задачи и осуществлять расчеты. Отражены разделы линейной алгебры, математического программирования, сетевое программирование и планирование, обработка результатов измерений, статистический анализ.