13.10. векторные случайные величины

13.10. векторные случайные величины

Во многих задачах приходится рассматривать совместно несколько случайных величин Xv Х2,Хп. Совокупность таких величин называют векторной или многомерной случайной величиной.

Для векторных случайных величин, так же как и для одной случайной величины, вводится понятие функции распределения вероятностей. Например, функцией распределения вероятностей двумерного случайного вектора с составляющими X, У называется вероятность совместного выполнения неравенств Х< х, Y< у, рассматриваемая как функция двух переменных:

F{x,y) = p[*<X [Y<y)

Дискретным векторным случайным величинам соответствуют вероятности их совместного появления в опыте.

Для непрерывных векторных случайных величин вводится понятие плотности распределения вероятностей случайного вектора. Например, плотностью распределения вероятностей случайного вектора (X, Y) называется предел отношения вероятности попадания его конца в бесконечно малую область к площади этой области при стягивании ее в точку:

Ґ х < X < х + ДлЛ

f(x,y)= Hm

ку <Y < у + Ау

Дх-»о АхАу

Ду->0

Для векторных случайных величин также вводится понятие условных распределений. Так, для двумерного дискретного случайного вектора рассматриваются условные вероятности

p(x./y) = P(X=x./Y=y),

p(yj/x) = P(Y=yj/X=x), i= 1, 2,]= 1, 2,....

354

Аналогично для непрерывных векторных случайных величин рассматривается условная плотность распределения вероятностей одной или нескольких случайных величин при условии, что остальные величины приняли определенные значения. Так, если (X, Y) — непрерывная векторная случайная величина с плотностью совместного распределения Дх, у), а /(у) — плотность распределения величины Y, то условная плотность распределения вероятностей случайной величины Хпри условии, что Y приняло значение у0, определяется формулой

f(x/y0)=f(x,y)/f(y0), /О0)*0.