Раздел xv методы статистического анализа 15.1. метод статистических испытаний [монте-карло]

Раздел xv методы статистического анализа 15.1. метод статистических испытаний [монте-карло]

15.1.1. Основные положения метода

Широкое распространение на практике при исследовании свойств изучаемого объекта имеет метод статистических испытаний (метод Монте-Карло).

Статистическим испытанием называется специально организованное испытание натурного объекта или его модели с учетом воздействия на объект или модель случайных возмущений.

С помощью метода статистических испытаний решают задачи исследования любого реального процесса, на протекание которого влияют случайные факторы. Этот метод используют также при решении задач, для которых возможно создание искусственной вероятностной модели. Примером может служить определение площади криволинейной фигуры.

Пусть требуется вычислить площадь фигуры S, изображенной нарис. 15.1.

b

395

Ограничив искомую площадь S площадью прямоугольника Sy ab, находят отношение числа точек JV, принадлежащих площади S, к общему числу точек JVj в площади Sv Площадь S приближенно находят из соотношения

S^ S

N_ К'

При этом закон распределения точек в области Sy должен быть равномерным.

Другим примером является вычисление экстремальных значений функций.

Для многоэкстремальных многопараметрических задач определение экстремумов функций с помощью последовательного перебора точек в области определения функции — сложная трудоемкая задача. Использование метода случайного выбора точек в указанной области позволяет с меньшей трудоемкостью и достаточной вероятностью находить экстремальные значения функции.

Примером использования метода статистических испытаний при исследовании случайных процессов является моделирование нестационарных систем массового обслуживания, которые не удается представить в виде стационарных линейных моделей.

При статистическом моделировании случайного процесса случайные факторы (возмущения) представляют в виде конечного набора случайных величин с известными распределениями.

Испытание модели процесса с конкретными значениями факторов называют реализацией случайного процесса в данной модели.

Модель статистических испытаний в общем виде можно представить следующим соотношением:

y=A(x,a),

где А — известный оператор преобразования; х — вектор входных неслучайных воздействий; у — вектор выходных параметров; а — вектор случайных параметров с известными законами распределения вероятностей.

Условно процесс статистических испытаний модели объекта с учетом случайных воздействий изображен на рис. 15.2.

396

ОС

▼

Рис. 15.2

Задавая последовательность значений случайных величин в соответствии с их законами распределения и осуществляя для каждого конкретного значения этих случайных величин реализацию процесса, получают множество реализаций, которое подвергают статистической обработке для получения статистических характеристик выходных параметров объекта.

Моделирование случайной величины — основное содержание метода статистических испытаний. Исходными при моделировании случайных величин являются случайные величины, равномерно распределенные на промежутке [0; 1]. Другие виды распределений получают с помощью специальных методов преобразования такой равномерно распределенной величины.

Процесс статистических испытаний обычно осуществляют с помощью ЭВМ. Значения случайных величин для каждой реализации процесса выбирают с помощью датчиков случайных чисел, которые входят в математическое обеспечение ЭВМ.

15.1.2. Моделирование равномерно распределенных случайных чисел

Свое название метод Монте-Карло получил по названию города Монте-Карло в княжестве Монако, известного своими игорными домами. Игры эти связаны со случайными распределениями выигрышей и проигрышей игроков. Наиболее широко распространенной игрой в игорных домах является рулетка, которую в общем случае можно рассматривать как датчик случайных чисел. Она представляет собой вращающийся диск, разбитый на конечное число равных секторов 10, 100,.... После остановки диска фиксируется номер сектора, оказавшегося против метки. Так как секторы равномерно распределены по окружности диска, то такое устройство может служить в качестве датчика равномерно распределенных случайных чисел.

397

Рассмотрим способ формирования равномерно распределенной случайной величины с помощью рулетки.

Выбрав некоторое число JV, например, равное 1000, производят 1000 вращений диска и фиксируют числа, остановившиеся против метки. В результате получается набор чисел. Если эти числа поместить в таблицу или в память вычислительной машины, а затем выводить их в данной последовательности, то получается равномерно распределенная случайная величина. На практике эту величину обычно нормируют, поделив на общее число отмеченных секторов. В результате получается равномерно распределенная в диапазоне от 0 до 1 случайная величина.

Рассмотренный способ имеет определенные недостатки, связанные как с получением, так и с использованием случайных чисел. Поэтому разрабатывались и другие способы формирования равномерно распределенных случайных чисел.

Наибольшее распространение получил способ формирования так называемых псевдослучайных чисел. Идея их получения состоит в следующем. Если по некоторому алгоритму, обычно с помощью аналитических зависимостей, составить набор чисел, который будет удовлетворять условиям равномерного распределения, то эти числа можно принимать в качестве случайных чисел.

Один из первых алгоритмов получения псевдослучайных чисел был предложен Дж. Нейманом и назывался методом середины квадратов. Состоял он в следующем: бралось некоторое, например, четырехзначное число у0 = 0,9876 и возводилось в квадрат. Получалось восьмизначное число у2 = 0,975 353 76. Выбирались четыре средние цифры полученного квадрата ух = 0,5353. Это число вновь возводилось в квадрат у2 = 0,28654609 и выбиралось у2 = 0,6546 и т.д. Однако в этом случае получалось большое число малых значений. Поэтому наибольшее распространение в дальнейшем получил метод сравнения.

В методе сравнения (метод вычетов) задается начальное число т0 = 1, а все последующие числа вычисляются по одной и той же формуле сравнения

тк+1 = 517тк(тоа240), тдек=0, 1, 2,....

Эта формула означает, что число тш равняется остатку от деления 517тк на 240.

398

15.1.3. Получение случайных чисел с заданным законом распределения

В п. 15.1.2 рассмотрены алгоритмы получения равномерно распределенной случайной величины, обычно нормируемой на интервале от 0 до 1. Однако во многих случаях необходимо получать случайные числа, распределенные по другим законам.

Пусть требуется сформировать значение случайной величины X, имеющей известный закон распределения F(x) (рис. 15.3).

Возьмем на оси ординат случайное равномерно распределенное на интервале от 0 до 1 число R. Найдем значение X, при котором F(X) R. При этом случайная величина X будет иметь функцию распределения Fix).

Действительно, если взять х > X, то вероятности события Х< х соответствует вероятность события R < F(x), т.е.

P(X<x) = P(R<F(x)).

Случайное число R имеет на отрезке [0; 1] постоянную плотность f{r) = 1. Тогда

F(x) F{x)

P(R<F(x))= j f{r)ar= J dr = F{x). о 0

Таким образом, случайное число X, сформированное указанным способом, обеспечивает заданную функцию распределения F(x).

399

Это означает, что случайная величина X находится как

X=F~R),

где F_1(R) — функция, обратная к F(x).

О Пример. Пусть случайная величина ^распределена по показательному закону с плотностью

Дх) = 3иг** (х>0).

Сформировать из равномерно распределенной случайной величины R случайное число X, распределенное по указанному закону. По заданной плотности распределения f{x) находим функцию

х

F(x) = jf(x)dx = 1 е_я*. о

Будем брать случайное число R в соответствии с формулой

Л=1-е_хлг.

Откуда

e-'KX=l-R, -АЛГ=1п|1-Д|,

Х = --1п|1-Д|.

X 1 1

Задавая равномерно распределенное число R, получаем случайное число X, распределенное по показательному закону. •

15.1.4. Практическое получение нормально распределенной случайной величины

Большое распространение в практических задачах имеет нормально распределенная случайная величина. Рассмотрим способы ее формирования.

(х-Мх)2 2а*

Плотность распределения случайной величины при нормальном законе распределения, как известно, имеет вид

f(x) —^т=ехр

Введем нормированную случайную величину

„ Х-М„

для которой М, = 0, аг = 1. 400

Плотность распределения этой величины будет

а функция распределения вероятностей

1 z

*Xz) = -^=Je 2а/ = 0,5 + Ф(г),

1 z -где Ф(г) -7= [е 2 dt — функция Лапласа. V2tij0

Поставим в соответствие равномерно распределенному числу R случайное число Zno формуле

R = F(Z) = 0,5 + <D(Z).

Откуда

Z=<b-R-0,5), где Ф-1 — функция, обратная функции Лапласа.

Тогда

X=oxZ+Mx,

или

Х=ахФ-Я-0,5) + Мя,

Используется также и другой способ формирования, основанный на центральной предельной теореме теории вероятностей. Согласно этой теореме при сложении достаточно большого числа случайных чисел, сравнимых по дисперсиям, получается случайная величина, распределенная приблизительно по нормальному закону. Оказывается, достаточно взять несколько таких чисел, обычно до шести, и сформировать случайное число

V=R1 + R2 + ... + R6, Rts [0;1].

Математическое ожидание этой величины

M[V] = ХМД].

(=1

Так как МЩ] = 0,5, то

Л/[К]=6-0,5 = 3.

401

Дисперсию случайной величины К можно получить как сумму дисперсий независимых случайных величин

D[V] = ХВД.

(=1

ТаккакХ>[Дг.] = 1/12,то

D[V = 61/12=1/2 и av=l/V2.

Пронормируем случайную величину V:

V М Iz = -—= (к ъуй.

Теперь можно перейти к случайной величине Хпо формуле

X=cxZ+Mx,

или

( 6 Vi=l