15.7. методы статистического прогноза

15.7. методы статистического прогноза

В экономике очень важен прогноз экономических показателей, который можно осуществить на основе измеренных значений этих показателей на некотором отрезке времени.

Прогноз на основе регрессионных моделей. При проведении прогноза можно использовать уравнения регрессии, составленные для выбранного класса функций, параметры которых, например коэффициенты соответствующих полиномов, находятся на основе метода наименьших квадратов (см. п. 15.2).

В случае полиномиальной функции уравнение регрессии можно представить в виде

п

y(t) = а0 + ^aktk.

Имея таблицу измерений параметра у в дискретных точках временной оси и выбирая конкретный вид полинома, составляют

423

расчетную таблицу, на основании которой находят коэффициенты а0,ак(к=1,2,...,п).

Наиболее простым является случай, когда измерения проводятся через равные интервалы. В этом случае каждый интервал t{ можно рассматривать как единичный и точки временной оси можно выразить в виде чисел натурального ряда 1,2,.... Прогноз на интервал времени т, выраженный в масштабе значений t., осуществляется по формуле

РСГ + т) = аь + XfljtCT+ т)*,

k=l

где Т— общий интервал измерений. Для линейной регрессии имеем

у(Т + т) = а0 + а^Т + т). (15.26)

О Пример. Определить прогноз продажи стиральных машин в июле, августе и сентябре, если за первые шесть месяцев года объемы продаж были таковы:

i=i j i=i

424

9Ц + 2la0 = 5684,

21aj + 6oo = 1563,

откуда Oj = 12,2, a0 = 217,8. Тогда

y7 = 217,8+ 12,2(6 + 1) = 303,2, y8 = 217,8 + 12,2(6 + 2) = 315,4, y9 = 217,8 + 12,2(6 + 3) = 327,6. •

Прогноз на основе экспоненциального сглаживания. Имеется некоторый временной ряд экспериментальных данных yt, t = 1, 2,

Т. Из этого ряда можно получить сглаженный ряд с помощью следующего оператора сглаживания:

S = ayt+(l-a)St_v (15.27)

где а — постоянная, 0 < ос < 1, «У,, = 0.

В результате подстановки соответствующих значений временного ряда получаем выражение

St=a£<X-afyt_s. (15.28)

Оператор сглаживания (15.27) можно вновь применить к сглаженным значениям. В результате получаем оператор сглаживания второго порядка и т.д. Таким образом, имеем

sW = ayt + (l-a)S\%

SV> = aSt™ + (l-a)Sfv

Для прогноза на интервал т используют прогнозирующий полином

N ЛТ)

i=l ' •

коэффициенты которого выражаются через сглаженные значения

о(1) с-(2) о(Л)

Jt , э( ,о; .

Для линейного полинома

Ут+1 "о + "і х

425

коэффициенты ' и а находят по формулам

fl(7-)_2c-(l)_ с-(2)

1-а

Рекомендуется принимать следующие значения а в зависимости от числа измерений N:

О Пример. Имеется ряд

46) = £f <tf> ^2)) = ff(6,42 3,93) = 1,07.

426

Определяем прогнозируемое значение:

\% =8,91 +1,07-2 = 11,02. •

В последнее время для прогнозирования нестационарных временных рядов все шире используются модели Бокса — Дженкинса (см. п. 14.13.5). Как частные случаи в эти модели входят и различные виды ARMA моделей.

После осуществления идентификации этих моделей применительно к рассматриваемому временному ряду и оценке ее параметров такие модели могут быть использованы и для прогнозируемых значений временного ряда.