1.23. отображение. функция

1.23. отображение. функция

Отображение — одно из основных понятий математики. Пусть А и В — два непустых множества. Если каждому элементу х є А ставится в соответствие по правилу /один вполне определенный элемент у є В, то говорят, что задано отображение множества А в множество В, и обозначают f:A^> В. При этом у /(х) называют образом элемента х, а х — прообразом элемента у.

Множество всех у є В, в которые переходят различные х є А, называют множеством значений отображения / и обозначают ДА). Очевидно, f(A) с В.

Если при отображении /каждый элемент у є В соответствует некоторому элементу х є А, то говорят об отображении множества А в множество В.

О Примеры.

Поставим в соответствие каждому слову некоторого словаря (на русском языке) его заглавную букву. Такое соответствие определяет отображение множества слов словаря в множество букв русского алфавита.

Поставим в соответствие каждому трехзначному числу цифру его десятков. Такое соответствие определяет отображение множества трехзначных чисел в множество В = {О,1,2, 3,4, 5, 6, 7, 8, 9}. •

Отображение / называют обратимым, если из условия х1 Ф х2 (хр х2 є А) вытекаету1 фу2 (yv у2 є В), т.е. разным прообразам соответствуют разные образы. В этом случае каждый образ у имеет единственный прообраз х и можно определить отображение/_1: f(A) -*А, называемое обратным к отображению/ Обратное отображение устанавливает взаимно однозначное соответствие между множествами Л и f(A), т.е. такое соответствие, при котором каждому элементу множества А соответствует единственный элемент множества f(A) и каждому элементу множества f(A) соответствует единственный элемент множества А.

Если заданы отображения /^ Л -» 5 и/2: В->С,то отображение f2°fv сопоставляющее каждому элементу х є А определенный элемент z є С такой, что z =f2(y), где у = /j(x), называют суперпозицией отображений /j и/2 (рис. 1.24).

Отображение / называют функционалом, если множество В является множеством действительных чисел (В = R). Если же и множество А — числовое, то отображение / называют функцией.

32

с

Рис. 1.24

В частности, если А с: R, то говорят о функции у =/(х) одной переменной х. Множествоf(A) = {уе Ry= f(x), хе А} принято обозначать E(f) и называть областью значений функции. Если А с R" (см. п. 3.1), то говорят о функции^ = f(xv х2,хп) п переменных xv х2,хп (см. п. 4.1). В этом случае

ШЛ = 0> є R | ;>> =f(xvх2,хп), (xvх2,хп) є А}.