1.26. комплексные числа

1.26. комплексные числа

Мнимую единицу і определяют как число, квадрат которого равен (-1). Таким образом, і2 = -1.

Всякое комплексное число представляют в виде

z-a + bi

(алгебраическая форма записи комплексного числа). Здесь а и b — действительные числа. При этом а называют действительной частью комплексного числа z (а = Rez), b — его мнимой частью (b = lmz).

Если а = 0, то z = Ы называют чисто мнимым числом.

35

Если b О, то z а, т.е. комплексное число z равно действительному числу а. Множество действительных чисел, таким образом, есть подмножество множества комплексных чисел.

Два комплексных числа z1-a1 + b1i и z2-a2 + b2i считают равными (zj = z2), если и только если ах а2 и Ъх Ьт В противном случае z1 * zr Отношений «больше», «меньше» для комплексных чисел не существует.

Всякое комплексное число z-a + bi удобно изображать точкой (а, Ь) или соответствующим радиусом-вектором на комплексной плоскости (рис. 1.25). Оси Ох и Оу прямоугольной декартовой системы координат называют при этом соответственно действительной и мнимой осями. Величину р — длину радиуса-вектора точки z — называют модулем комплексного числа z и обозначают z. Угол ф (в радианах) называют аргументом комплексного числа z и обозначают ф = argz.

Имеют место соотношения а рсовф, b рвіпф. Тогда

г=р(С08ф + /8ІПф)

(тригонометрическая форма записи комплексного числа).

С другой стороны, р = yla2 + b2, tgф = —, при этом 0 < р < +°°,

а

-°° < ф < +°о. Более того, для данного комплексного числа z аргумент ф имеет бесконечное множество значений, отличающихся друг от друга на величину 2nk (к — целое число). Главное значение аргумента заключено в промежутке -л < ф < л.

Для числа z 0 (а Ъ 0) аргумент не определяется, a z 0.

36

Имеет место показательная форма записи комплексного числа:

а + Ы = ре*.

При этом е4" = coscp + /sirup (формула Эйлера).

Два комплексных числа z и z называют взаимно сопряженными, если они имеют равные действительные части и отличающиеся лишь знаком мнимые части (Reг Re^, lmz -lmz).

Очевидно, что z z, a axgz -argz, так что на комплексной плоскости точки z и z симметричны относительно действительной оси Re.

При этом

z = а + Ы = p(cos(p + /sincp) = ре4";

z-а-Ыp(coscp /sincp) = ре"фг.

Свойства комплексных чисел. Пусть даны два комплексных числа zi = al + bj p1(cos91 + /sitKpj) и z2 = а2 + ^4 ~ P2(COS(P2 + zsm(p2)' тогда:

Г. zx + г2 = (а{ ± а2) + (Ьх + b2)i;

2°. zl-Z2 = (afa ЬХЬ2) + (ахЪ2 + a2bx)i = p1p2[cos(91 + ф2) + + /sin^j + ф2)].

у К = (ala2 + blb2) + (a2bl-a1b2)i = £l[cm( _ } +

z2 al + Ц р2

+ /sin(91 (р2)] {z2 ф 0).

4°. zi■ z = а + bl = р2; z + z2 = z + z2; Z-z2 = z-z2,

z~jz~2 = ^(л2фЪ).

5°. z" = p"(cos«91 + /віпиф^, где n — целое число (формула Муавра).

ф, + j.kk . . ф, + zkk

cos— + / sin—

, где и — натуральное

В частности, і3 = -і, /4 = 1,іАп+т = іт. число, & k = Q, 1, 2,п 1.

37