1.27. элементы аналитической геометрии на плоскости и в пространстве
1.27. элементы аналитической геометрии на плоскости и в пространстве
1.27.1. Система декартовых координат на плоскости и в пространстве
Точки плоскости или пространства задаются координатными проекциями на прямоугольные оси Ох, Оу на плоскости или Ох, Оу, Oz в пространстве, например: точка М(х, у) на плоскости (рис. 1.26) и М(х, у, z) в пространстве (рис. 1.27).
Числа x,ynz называют координатами точки. Расстояние р между двумя точками М(х, у) и М'(х', у') определяют с помощью формулы
р = ■sjix' -х)2 +(у' -у)2 (на плоскости);
р = yj(x' х)2 + (у' у)2 + (z' z)2 (в пространстве).
1.27.2. Системы геометрических и алгебраических векторов
В качестве геометрического вектора рассматривают направленный отрезок АВ, заданный в определенной системе координат и исчисляющий геометрические отклонения концевой точки В отрезками от начальной точки А. Это отклонение задается последовательностью проекций:
38
(^,£2): ^=хв-хА, $2=УВ-УА (наплоскости);
$3>: $і=*в_іХа> ^2=^-^ ^3 = zb~za (в пространстве), где £р £2, — координаты вектора; xA, yA, zA и хв, ув, zB — координаты точек А и В.
Алгебраический вектор задается как совокупность координат и непосредственно не связан с прямоугольными системами отсчета. Обозначают алгебраический вектор малыми латинскими буквами а, Ь и т.д. Координаты алгебраического вектора можно записать в форме а = (аи а2) на плоскости и а = (al, Oj, а3) в пространстве.
По существу, геометрический вектор в операционном исчислении абсолютно сходен с алгебраическим и различается с ним только в практическом приложении.
Векторы считают равными, если совпадают все их одноименные координаты. Кроме величин векторов, задаваемых длиной, или
модулем: а= ИГ af, определяют направленность вектора с
помощью направляющих косинусов: coscp, = т±,.
а
Для направляющих косинусов верно тождество ^coscp2 = 1.
t
1.27.3. Операции в векторных системах
Сложение векторов:
а +Ь = с: V/ а, + bt = ct.
Умножение вектора на число:
ka = Ь: к є R, V/ ка( = bt.
Операция сложения векторов обладает свойствами коммутативности (переместительности) и ассоциативности (сочетательности):
a+b=b+a, (a+b) + c =а+(b+с),
а операция умножения вектора на число — свойством дистрибутивности (распределительности):
k(a +b) = ka + kb.
Оба указанных закона в совокупности обеспечивают линейную систему преобразований векторных комбинаций.
39
3. Скалярное умножение векторов:
а ■ Ъ = ХаЛі
С помощью скалярного произведения оценивают метрическую длину векторов (как нормированную величину) и определяют взаимные угловые смещения (как ориентированную величину):
_ _ _2 |-|2 Vі 2
а ■ а а -а = 2_,а~,
і
а Ъ а• |Z>|cos0,
где 0 — угловое смещение вектора а по отношению к Ъ.
Векторы называют ортогональными (взаимно перпендикулярными), если cosG = 0. Векторы называют коллинеарными (однонаправленными и противоположно направленными), если cos0 = ±l.
Очевидно, условие коллинеарности обеспечивается, если одноименные координаты вектороваиЬ пропорциональны:
°1 (на плоскости); — = — = — (в пространстве).
k h h b2 h
Требования ортогональности и коллинеарности предусматривают, что оба вектора а и Ъ отличны от нуля. (Вектор с нулевыми координатами называют нулевым.)
Скалярное произведение векторов обладает свойствами коммутативности и дистрибутивности:
а Ъ Ь а,
(а +Ь)с = а с +Ь с.
1.27.4. Уравнения прямой на плоскости
Общее уравнение прямой:
Ах + Ву + С=0.
Здесь А иВ — коэффициенты, С — свободный член уравнения.
Если указана точка М0(х0, у0), находящаяся на прямой, то уравнение приводится к виду
А(х-х0) + В(у-уо) = 0. (1.1)
40
Если рассматривать коэффициенты А и В как координаты вектора и, а разности х х0, у у0 как координаты вектора т, то уравнение (1.1) определяет условие ортогональности вектора и к вектору т, расположенному на прямой. Поэтому вектор п называют нормальным вектором прямой.
Уравнение прямой с угловым коэффициентом:
y = kx + b.
Уравнение прямой, проходящей через две точки М0(х0, у0) и M^yJ:
*-*о = У-Уо хі~хо Уі-Уо'
Уравнение прямой, проходящей через точку М0 и параллельной направляющему вектору т-(т1,т2):
х-х0 _ у-у0 т1 /«2 Уравнение прямой в отрезках:
* + ^ = 1. а Ъ
Здесь а и b — отрезки, отсекаемые прямой на осях координат (рис. 1.29).
41
Рис. 1.29
Расстояние от точки М0(х0, у0) до прямой, заданной в общем виде:
Ах + By + С-О, равно
Ах0 + Ву0 + С
JaUb2
1.27.5. Кривые второго порядка на плоскости
В общем виде кривые второго порядка задаются в форме
Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F=0.
Здесь А, В, С, D, Е — коэффициенты, F — свободный член уравнения.
После приведения к каноническому виду получим следующую классификацию.
Нормальное уравнение окружности:
(x-x0)2 + (y-y0)2 = R2,
где М0(х0, у0) — точка, расположенная в центре окружности, R — радиус окружности.
Каноническое уравнение эллипса:
Здесь а и b — главные полуоси эллипса.
Точки Fv F2 называют фокусами эллипса (рис. 1.30), расстояния rvr2 — фокальными радиусами. Фокальное свойство эллипса выражается равенством
гу + г2 2а.
42
триситетом эллипса и обозначают є. Каноническое уравнение гиперболы:
2 2
— -^= 1 „2 l2
а b
Здесь а — действительная полуось, Ъ — мнимая полуось гиперболы.
Точки F1 и F2 называют фокусами гиперболы (рис. 1.31), расстояния и г2 — фокальными радиусами. Фокальное свойство гиперболы выражается равенством
43
b с Прямые у ±—х — асимптоты гиперболы. Отношение — назы-а а
вают эксцентриситетом гиперболы и обозначают е.
Каноническое уравнение параболы:
а) для параболы, симметричной относительно оси Ох,
у2 = 2рх;
б) для параболы, симметричной относительно оси Оу,
х2 = 2ру.
Парабола имеет фокус в точке (^, 0) (рис. 1.32) и в точке (0, ^)
(рис. 1.33) и директрису х--— в первом случае и у --— во втором случае.
Общее уравнение плоскости имеет вид
Ax + By + Cz + D = 0.
Здесь А, В, С — коэффициенты, D — свободный член уравнения.
Если указана точка М0(х0, у0, г0), находящаяся на плоскости, то уравнение приводится к виду
А(х х0) + В(у уа) + C(z z0) 0.
(1.2)
44
Уравнение (1.2) определяет условие ортогональности вектора п (А, В, С) и вектора т (х х0, у у0, z Z0), расположенного на плоскости.
Разновидности общего уравнения:
а) D 0 — плоскость проходит через начало координат;
б) С-0 — плоскость параллельна оси Oz;
в) С D = 0 — плоскость проходит через ось Oz;
г) В = С = 0 — плоскость параллельна координатной плоскости Oyz.
Уравнение плоскости в отрезках
а Ъ с
1.27.7. Формы задания прямой в пространстве
Прямая является геометрическим местом пересечения двух плоскостей:
Ux + В1у + Cxz + А = °> [А2х + В2у + C2z + D2=0.
Прямая проходит через две заданные точки MQ(x0, yQ, Zq) и Ml(xl,yvzl):
*-*о _ У-Уо _ z-Zq
*i *Ь УіУ о zx Zq
45
Здесь использовано условие параллельности векторов М0М и
M0MV целиком расположенных на прямой.
3. Прямая проходит через точку MQ и параллельна вектору т (т],т2,т3), именуемому направляющим: x-x0=y-y0=z-Zp т1 пц
Расстояние от точки М0(х0, у0, г0) до плоскости Ах + By + Cz +
+ D = О задается в форме
Axq +Ву0 + Czq + D
d =
yjA2 + B2 + C2
1.27.8. Угол между прямой и плоскостью
Если прямая и плоскость заданы уравнениями
^^ = ^°= ^°- и Ax + By + Cz + D = 0, п щ пц
то угол между направляющим вектором т (т1,т2,т3)и нормальным вектором п = (А, В, С) определяется соотношением
. а т-п sine = , , , ,.
ІйІ-ІлІ
Отсюда следует, что условие параллельности прямой и плоскости
задается равенством
тп Ащ + Вщ + Сщ 0.
Условие перпендикулярности прямой и плоскости определяется параллельностью векторов тип:
Щ _ Щ Щ, ~А~~В~~С'
Обсуждение Справочник по математике для экономистов
Комментарии, рецензии и отзывы