2.6. длина вектора. угол между л-мерными векторами
2.6. длина вектора. угол между л-мерными векторами
Длиной n-мерного вектора х = (av а2,ап) называют число |х|, равное
|х| = Vxx = -y/oj2 + а +... + а.
О Пример. Найти длину векторах = (-12, 3, -4). Имеем |х| = Vxx = V(-12)2 + З2 + (-Af = 13. •
ВСаждый и-мерный вектор имеет длину, причем нулевой вектор является единственным вектором, длина которого равна нулю.
Скалярное произведение хх называют скалярным квадратом вектора х и обозначают х2. Квадрат длины вектора равен его скалярному квадрату, т.е. |х|2 = х2.
56
Если х (flj, а2,..., ап) и у (bx, Ъ2,..., Ьп) — произвольные «-мерные векторы, то их длины |х| и |у| связаны со скалярным произведением ху соотношением
которое называется неравенством Коши — Буняковского. Это неравенство в координатной форме имеет вид
аА + «2*2 + + «А| ^ Я2 + а1 + + al № + bl + + ь2п.
Для каждой пары я-мерных векторов х, у справедливо соотношение
х+у\<х + у,
которое называется неравенством треугольника.
Углом ф между ненулевыми п-мерными векторами хиу называют угол (от 0 до тс), косинус которого равен
ху
СОБф
1*1 ■ У
Откуда
ху = х ■ |y|cos9,
т.е. скалярное произведение векторов хиу равно произведению длин этих векторов на косинус угла между ними.
Обсуждение Справочник по математике для экономистов
Комментарии, рецензии и отзывы