2.7. линейные комбинации векторов и векторная форма записи систем линейных уравнений

2.7. линейные комбинации векторов и векторная форма записи систем линейных уравнений

Вектор Ахкх + А2к2 +... +Аткт называется линейной комбинацией векторов Ар А2,Ат с коэффициентами kv k2,km.

О Пример. Дана система векторов Ах = (1, 2, 5, -9), А2 = (-1, З, 1, -5), Аъ = (0, 7, -2,4), А4 = (1, -2, -2, 3). Найти координаты линейной комбинации 2Ау ЪА2 +А30А4.

Выполняя указанные операции над векторами, получим

2А

57

Используя введенные операции над векторами (см. п. 2.5), запишем систему линейных уравнений

«11*1 + «12*2 + + апхп = А>

«гЛ + «22*2 + •••+ «2лхи = ^2 9)

«mlXl + «ві2Х2 + ••• + «mn*n =

в векторной форме.

Обозначим через Av А2, Ап столбцы коэффициентов при неизвестных хр х2, хя, а через В — столбец свободных членов системы уравнений:

Теперь систему линейных уравнений (2.9) можно записать в виде

А.х, + Ах, + ... +Ах = В.

Последовательность чисел kv к2,кп является решением системы (2.9) тогда и только тогда, когда справедливо соотношение

А]к1+А£2 + ...+Аякя = В.