2.9. линейная зависимость векторов

2.9. линейная зависимость векторов

Система векторов Av А2, —,Ап называется линейно зависимой, если можно подобрать такие числа kv к2,кп, не все равные нулю, что

Afa+A^ +... +Апкп = 0.

Если же каждая линейная комбинация векторов Лр А2, .-.,Ап с коэффициентами kv к2,кп, которые не все равны нулю, отлична от нулевого вектора, то система векторов Av А2,Ап называется линейно независимой.

Система m-мерных векторов А1, А2,..., Ап является линейно зависимой, если система линейных уравнений

А^.х + А2х2 +... + Апхп 0 (2.10)

линейно зависимой или линейно независимой.

Преобразуем систему линейных уравнений А^ху +А2х2 +Агхг = 0 методом Гаусса:

Общее решение исходной системы имеет вид Г -13х2 + х3 = 0, [xj 5х2 = 0.

60

Эта система имеет ненулевое решение 5, 1, 13. Следовательно, векторы Av А2, Аъ линейно зависимы.

2. Выяснить, является ли система векторов

линейно зависимой или линейно независимой.

Преобразуем систему линейных уравнений Аххх +А2х2 +Аъхг = 6 методом Гаусса:

Общее решение исходной системы имеет ВИД Xj = 0, х2 0, хъ 0. Эта система, а следовательно исходная система уравнений, не имеет ненулевых решений. Таким образом, векторы Av А^, А3 линейно независимы. •

Если каждый из векторов Bv В2,Вп разлагается по системе векторов Av А2, —,Ат, т < п, то система векторов Вх, В2,Вп линейно зависима.