2.16. умножение матрицы на число и сложение матриц
2.16. умножение матрицы на число и сложение матриц
По определению, для умножения матрицы А на число к нужно каждый элемент матрицы А умножить на к. Например,
' 3 | 1 | -2 | 4^ | ' 9 | 3 | -6 | 12> | |
7 | 0 | 3 | 21 | •3 = | 21 | 0 | 9 | 63 |
,-1 | 2 | 1 | 7, | -з | 6 | 3 | 21, |
Складывать можно только матрицы с одинаковым числом строк и столбцов. Суммой матриц А = (a(J) и В = (by) называется матрица С = (су), элементы которой равны суммам соответственных элементов матриц А и В: с у = а у + by при любых і и у.
Например,
'3 2 | Г | + | '2 | 5 | 7) | Ґ 5 | 7 8' | |
,8 -1 | 5, | 0 | -40, | ,15 | -1 -35, |
Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой и обозначается через 0. Для любой матрицы А имеем А + 0 = А.
Матрица А(-1) называется противоположной А и обозначается через -А. Вместо А + (-В) пишут А-В.
Свойства умножения матрицы на число и сложения матриц (А, В, С — матрицы; к,1 — числа):
Г. А(к1) = (Ак)1.
2°. А + В = В+А.
3°. (А + В) + С=А + (В + С).
4°. А(к + 1)=Ак+А1.
5°. (А + В)к=Ак + Вк.
2.17. Умножение матриц
Произведение матрицы А на матрицу В определено только в том случае, когда число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В. В результате умножения получится матрица AS, у которой столько же строк, сколько их в матрице А, и столько же столбцов, сколько их в матрице В:
68
Матрица | Число | |
строк | столбцов | |
А | т | п |
В | п | 1 |
АВ | т | 1 |
та с.р наj-й столбец матрицы В (J — второй индекс элемента с у),
произведению 1-й строки матрицы А (і — первый индекс элемента с т.е.
Су=(аа, аа,ajn)(by, Ьу,Ъп) = ааЬу +айЬу+... + ainbnJ.
О Пример. Найти произведение АВ, если
А -
9 -1
3 4 5 ^ 2-3 4 -5 3 11
В =
'З 2Ї
4 -1
1 -3
ч2 5
Матрица АВ является матрицей размера 3x2. Вычисляем элементы е.. матрицы AS. Имеем:
и
сп = (2, 3,4, 5)(3,4, 1, 2) = 2-3 + 3-4 + 4-1 + 5-2 = 32;
69
с12 = (2, 3, 4, 5)(2, -1, -3, 5) = 2 • 2 + 3 • (-1) + 4 • (-3) + 5 • 5 = 14; с21 = (9,2, -3,4)(3,4, 1,2) = 9-3 + 2-4 + (-3)1 + 4-2 = 40; с22 = (9,2, -3,4)(2, -1, -3, 5) = 9 • 2 + 2 • (-1) + (-3)(-3) + 4 • 5 = 45; с31 = (-1,-5, З, 11)(3,4, 1, 2) = (-1) ■ 3 + (-5) ■ 4 + 3 ■ 1 + 11-2 = 2; с32 = (-1, -5, 3,11)(2, -1, -3, 5) = (-1) • 2 + (-5Х-1) + 3 • (-3) +11 ■ 5 = 49.
"32 14' Итак,АЄ = 40 45
, 2 49^
Свойства умножения матриц:
Г. (АВ)к = (Ак)В=А(Вк), к число. 2°. (А + В)С=АС+ВС. 3°. С(А + В) = СА + СВ. 4 (АВ)С=А(ВС).
Обсуждение Справочник по математике для экономистов
Комментарии, рецензии и отзывы