2.18. блочные матрицы и действия с ними
2.18. блочные матрицы и действия с ними
разбита на четыре клетки. Каждая клетка является матрицей. Обозначим клетки матрицы А через Ап, Ап, А21, А12, где
«21
и22
4і =
Ч"31 "327
^21 — («41' «42 )>
«23 «24 «25 ^«33 «34 «35 У1 ^22 = («43'«44 > «45)-
70
Теперь матрицу А можно записать в виде
А =
V^21
А ^
Aft A2J
Матрица, которая некоторым образом разбита на клетки, называется блочной или клеточной. Каждую матрицу можно представить в блочной форме разными способами.
При умножении блочной матрицы на число следует все ее клетки умножить на это число.
Чтобы сложить две матрицы одинакового размера и одинаковым образом разбитых на клетки, достаточно сложить одноименные клетки этих матриц, т.е.
121
А
12
А
i22
А >
Л1л
*2л
+
12
вп в]
2?2i В'22
'2л
в
Aril Дя2
Ann
Вт1
nil
в.
тп;
f Al + ^11 Al + ^11 Al + -^21 -^22 + -^22
А» + Ві»л Ап + в2п
Ani + Bm Am2 + Bm2 ... Amn + Bmnj
Пусть теперь даны матрица А размера s х t и матрица В размера t х /, причем
А
л1л
0?и ... V
А
в =
Ann.
npj
и число столбцов клетки Ау равно числу строк клетки Bjk при всех г'= 1,m;j = 1,и; к= 1, ...,р. Тоща
41
АВ =
'-ml
"тру
пк'
где cik=AnBlk+Aj2B2k+... +AinBt
71
2.19. Умножение матрицы на вектор
Каждый вектор можно рассматривать как одностолбцовую или однострочную матрицу. Одностолбцовую матрицу будем называть вектор-столбцом, а однострочную матрицу — вектор-строкой.
Если А — матрица размера тхп, вектор-столбец х имеет размерность и, а вектор-строка у — размерность т, то определены произведения Ах и уА, причем Ах — вектор-столбец размерности и, ауА — вектор-строка размерности т.
Таким образом, при умножении матрицы на вектор, надо рассматривать вектор как вектор-столбец. При умножении вектора на матрицу его нужно рассматривать как вектор-строку.
О Пример. Даны матрица^ и векторы х и у:
2 1
^ 3^
Вычислить координаты векторов Ах и уА. Имеем
У = (2, 1, -3).
Свойства умножения матрицы на вектор (А, — число; А — матрица; xv х2, х, yv у2, у — векторы):
2° 3° 4° 5°
Г. А(х1+х2)=Ах1+Ах2.
(у1+у2)А=у1А+у2А.
у(Ах) (уА)х.
А(кх) = Х(Ах).
(Ху)А = Х(уА).
72
Обсуждение Справочник по математике для экономистов
Комментарии, рецензии и отзывы