2.26. разложение определителя по строке и столбцу
2.26. разложение определителя по строке и столбцу
Рассмотрим алгебраическую сумму всех правильных произведений квадратной матрицы А п-то порядка, содержащих множителем элемент а.к, вынесем этот общий множитель за скобки и выражение, оставшееся в скобках, обозначим через А.к. Выражение Aik называется алгебраическим дополнением элемента ajk в определителе матрицы А
В матрице А вычеркнем /-ю строку иу'-й столбец. Определитель полученной матрицы (и 1)-го порядка называют минором элемента а ■■ в определителе матрицы А и обозначают через М...
Алгебраическое дополнение А., равно соответствующему минору My, умноженному на (-1)г+у:
Справедливы следующие равенства:
deU = ИГЧЛі +.» + + + ("!) аіпМіп>
deU = (-1)1+уа1уМу + + (-l)i+JayMij + + (-^Л Равенство (2.20) называется разложением определителя матрицы А по элементам г'-й строки, а равенство (2.21) — разложением по элементам j-то столбца.
о
4
2 0
0
3
о 1
Формулы (2.20) и (2.21) можно использовать для вычисления определителей матриц.
Ґ1
О Пример. Вычислить определитель матрицы
Разлагая определитель по элементам третьего столбца, получаем
79
2.27. Свойства определителей. Вычисление определителей
Г. Определитель матрицы не изменяется при ее транспонировании.
2°. Общий множитель элементов любой строки (столбца) можно выносить за знак определителя этой матрицы:
її
"1л
11 "12
1л
кап кап
ка,.
= к
"лі "и2 •" "лл "лі "и2
3°. Если все элементы г'-й строки матрицы я-го порядка представлены в виде суммы двух слагаемых а~ bj + c.,j 1,2,и, то определитель этой матрицы равен сумме определителей матриц, все строки которых, кроме /-й, такие же, как и в данной матрице, а /-я строка у одной из матриц состоит из элементов Ъ., а у дру-
гой
из элементов е.:
"12
"1и
"11 "12
«1я
"11 "12
«1и
q + q Ьг + с2
q q.
*л1
42
"иі "л2
ии1 "л2
Аналогичное свойство справедливо и в том случае, когда элементы некоторого столбца матрицы представлены в виде суммы двух слагаемых.
4°. Определитель матрицы, имеющей две одинаковые строки столбца, равен нулю.
5°. Определитель матрицы не изменится, если к i'-й строке (столбцу) матрицы А прибавить ееу-ю строку (столбец), умноженную на число.
Если в матрице й-го порядка имеется строка (столбец), все элементы которой, кроме одного, равны нулю, то вычисление определителя матрицы я-го порядка сводится к вычислению единственного определителя матрицы (я 1)-го порядка.
80
Используя свойство 5° определителей матриц, можно, не изменяя величины определителя, преобразовать данную матрицу так, чтобы в выбранной строке (столбце) все элементы, кроме одного, обратились в нуль.
О Пример. Вычислить определитель матрицы (-2 5-1 3>
А =
-9 13 7 3-1 5-5
18 -7 -10
Прибавляя к первой строке удвоенную вторую, к третьей — вторую, умноженную на -3, а к четвертой строке — вторую, умноженную на -2, имеем
-13 25 17 26 -34 -26 36 -33 -24
Получен определитель матрицы третьего порядка, который можно вычислить либо непосредственно, либо сведя его к вычислению определителя матрицы второго порядка. Имеем
25 -17 1
2
-17 1
-13 25 17 26 -34 -26 36 -33 -24
-13 13 10
0 13
2-4
10
25 -17 -33 8
-17 1 0 9 -3
17 -13 -24 4 -13 2 1
-13 2
Итак, А = 1032. •
= 8(-39-90) = -1032.
81
6°. Определитель матрицы А равен нулю тогда и только тогда, когда столбцы или строки матрицы А линейно зависимы.
7°. Определитель произведения матриц равен произведению их определителей:
АВ = А-Ц.
2.28. Системы линейных уравнений с квадратной матрицей
Рассмотрим систему линейных уравнений, записанную в век-торно-матричной форме:
Ах = Ъ, (2.22)
где А — квадратная матрица.
Если определитель матрицы А отличен от нуля (т.е. А Ф 0), то система уравнений (2.22) имеет единственное решение, которое находят по формулам Крамера
xx = djd, x2 = d2/d, xn = djd,
где определитель d. получен из определителя d = А заменой у'-го столбца на столбец Ъ свободных членов системы уравнений.
-Г | (г Л х1 | '3' | |||
а | , х = | , ь = | |||
2, | ,6, |
О Пример. Решить систему уравнений Ах = Ъ, где А =
Определитель матрицы системы
1
= 3*0
и, значит, можно найти решение системы по правилу Крамера. Имеем
= 3.
d2 =
= 12,
3 -1 6 2
ОтсюдаXj = dx/d-А, х2-d2/d1. •
Если А Ф 0, то матрица Л обратима. Умножая обе части уравнения (2.22) слева на матрицу^-1, получаем
х=А~1Ь. (2.23)
Формула (2.23) представляет собой векторно-матричную форму записи формул Крамера.
82
Обсуждение Справочник по математике для экономистов
Комментарии, рецензии и отзывы