Раздел iii n-mephoe пространство r" 3.1. точки в n-мерном пространстве. расстояние между точками
Раздел iii n-mephoe пространство r" 3.1. точки в n-мерном пространстве. расстояние между точками
Последовательность п действительных чисел хр х2,хп называют n-мерной точкой M(xv х2,хп), а сами числа xv х2, ...,хп — координатами точки М.
Множество всех и-мерных точек составляет n-мерное пространство R".
Например, М(1;2; -3; 4) и N(3; 10; -у/2; 3) — точки четырехмерного пространства R4, т.е. М є R4, Ne R4.
Расстоянием между точками M(xv х2, хп) и N(yv у2, уп) называют число
рШ, Ю = Уі? + (х2 у2)2 +... + (х„ уп)2 = jti^-yf.
Например, если М(2; 3; -4; 6), N(1; 2; -1; 1), то
р(М, N) = уІ(2 -1)2 + (3 2)2 + (-4 +1)2 + (6 -1)2 = 6.
Свойства расстояния в и-мерном пространстве:
Г. р(М, N) = p(N, М).
Т. p(M,N)>0, p(M,N) = 0^M=N.
3°. р(М, N) < р(М, L) + p(L, N).
Если даны две точки M(xv х2,хп) и N(yv у2,уп) в пространстве R", то можно рассмотреть вектор
MN = {уу х1, у2 х2, уп хп).
При этом длина вектора MN совпадает с расстоянием р(М, N),
т.е. MN = р(М, N).
Вектор ОМ, где О(0; 0; ...; 0), называют радиусом-вектором точки М,
92
3.2. Окрестность точки в л-мерном пространстве
Если г — некоторое положительное число, то г-окрестностью Sr(MQ) точки М0 в и-мерном пространстве R" называют множество всех точек Af є R" таких, что p(Af, MQ) < г, т.е.
Sr(M0) = {MeRnpW,M0)<r}.
Например, Му(2; 3; -1; 3) є S2(M0), где М0(1; 2; -1; 2), так как p(Mv М0) = ч/з < 2, а М2(3; 3; -1; 3) ё S2(M0), так как p(Af2, М0) = = 7б>2.
В пространстве R1 г-окрестность точки М0(а) — это интервал ]а г, а + г[.
В пространстве R2 г-окрестность точки М0(а, Ь) — это внутренность круга радиуса г с центром в точке М0(а, Ь).
В пространстве R3 r-окрестность точки MQ(a, b, с) — это внутренность шара радиуса г с центром в точке MQ(a, b, с).
Обсуждение Справочник по математике для экономистов
Комментарии, рецензии и отзывы