3.9. бесконечно малые и бесконечно большие числовые последовательности
3.9. бесконечно малые и бесконечно большие числовые последовательности
Числовая последовательность {осй} называется бесконечно малой, если lim{a„} 0, т.е. {а } — бесконечно малая последовательность,
Л-»оо
если для любого числа є > 0 можно указать номер Атакой, что при всех и > ^выполняется неравенство |aj < є.
Например, если ср(х), g(x) — многочлены и deg(p(x) < degg(x), то
последовательность 1 является бесконечно малой.
Бесконечно малые последовательности используют при вычислении пределов последовательностей, так как число а является пределом последовательности {xj тогда и только тогда, когда хп = а + ап, где {ап} — бесконечно малая последовательность.
„ 2и2+1 . 2и2 +1 . 1 Г 1
Например, lim т.— = 2, так как =— = 2 + и
2 ~, ia» ^"п- 2 2 12
и->~ П П п Уп
бесконечно малая последовательность.
Свойства бесконечно малых последовательностей:
Г. Если {an}, {Ри} — бесконечно малые последовательности, то их сумма или разность {осл ± Рл} также последовательность бесконечно малая.
2°. Если {ал} — бесконечно малая, а {xj — ограниченная последовательность, то их произведение {ocnJcn} — последовательность бесконечно малая.
3°. Произведение конечного числа бесконечно малых последовательностей является бесконечно малой последовательностью.
98
Числовая последовательность {хп} называется бесконечно большой, если для любого числа А > О существует натуральное число N такое, что при всех и > ^выполняется неравенство xj > А.
Например, еслиf(x), ф(х) — многочлены и degq>(x) > deg/(x), то
последовательность | і является бесконечно большой. l/(«)J
Если {хп} — бесконечно большая последовательность, то пишут lim{x„} оо.
Если же {хп} — бесконечно большая последовательность и начиная с некоторого номера все хп положительны (отрицательны), то пишут 1іт{хи} -и» (1іт{хй} -оо).
Л-»°° Л-»°°
Свойства бесконечно больших последовательностей:
Г. Бесконечно большая последовательность всегда неограни-чена. Однако не всякая неограниченная последовательность является бесконечно большой.
2°. Последовательность {хп}, хпФ0 является бесконечно большой тогда и только тогда, когда последовательность — бесконечно малая.
3.10. Арифметические свойства пределов числовых последовательностей
Если последовательность {хп} постоянна, т.е. хп С const при всех п, то lim хп С.
Предположим, что последовательности {хп}, {уп} сходятся. Тогда:
1) сходятся последовательности {хп+уп}, {хпуп}, причем lim(x„ + у„) = Urn хп + lim уп;
■йІіт(^іУц)= Итхл1ітз;л; 2) если lim у Ф О, сходится последовательность — , причем
Л->°о
limx„
]imXlL=n=
п^уп lim^
Л-»°°
99
Отсюда следует, что если последовательность {хп} с х о д и т с я, то:
а) Мт(Схп) С lim хп (С = const);
б) lim (хп )к (lim хп )к (к — натуральное число).
л-»°° л-»«°
Приведенные утверждения часто используют при вычислении пределов числовых последовательностей. В частности, можно показать, что если ф(х), g(x) — многочлены и deg(p(x) = degg(x), то
lim равен отношению коэффициентов при старших степенях »-»-«(л)
многочленов ф(х) и#(х).
,. Зл2-2л + 8 3
Например, lim г— = —.
и->~ 2 4пг 4
3.11. Переход к пределу в неравенствах (для числовых последовательностей)
Имеют место следующие утверждения:
Если последовательности {хп}, {уJ сходятся и при всех номерах п выполняется неравенство х <у , то lim хп < lim уп.
л->°° л^«>
Если при всех и выполняется неравенство хп < уп < zn и lim хп = lim z„ = а, то и lim уп а.
Обсуждение Справочник по математике для экономистов
Комментарии, рецензии и отзывы