3.14. крайние точки выпуклых множеств

3.14. крайние точки выпуклых множеств

Точка Р выпуклого множества V в й-мерном пространстве называется крайней, если она не может быть серединой отрезка, концы которого лежат в множестве V, т.е. если не существует точек Mv М2 є V, Мх Ф М2 таких, что

OP = -OMi+-OM2. 2 2

102

Выпуклая оболочка и-мерных точек Mv М2,Мк имеет лиіпь конечное число крайних точек и совпадает с выпуклой оболочкой своих крайних точек.

Непустое компактное выпуклое множество в R" имеет крайние точки.

3.15. Непрерывные отображения пространства и неподвижные точки

Говорят, что задано отображение / пространства R" в себя {/. R" -> R"), если каждой точке Мє R" поставлена в соответствие определенная точка N=f(M) є R".

Точка М0 є R" называется неподвижной точкой отображения /:R"->R", если/(М0) = М0.

Рассмотрим, например, отображение пространства R2 в себя:

(хр х2) -> (х, 2х2 1).

Точки Afj(0; 1), М2(\; 1) являются неподвижными точками этого отображения.

Отображение/: R" —> R" называют непрерывным в точке М0 є R", если для любой последовательности точек пространства R": Mv М2,

Mk, сходящейся к М0, последовательность/^^), ДМ2), АМк),... сходится k/[Mq).

Отображение/: R" -» R" непрерывно на множестве K(Fc R"), если оно непрерывно в каждой точке этого множества.

Теорема Брауэра. Пусть V— непустое компактное выпуклое множество пространства R", af: R" —> R" — отображение пространства R". Если отображение/непрерывно на множестве Vu/(М) є V для всех Me V, то в множестве Vсуществует неподвижная точка этого отображения.

Отображение/: R" —> R" называется сжимающим, если существует такое положительное число а < 1, что для любых двух точек MvM2s R" выполняется неравенство

p(/(^)^M2))<ap(M15M2).

Рассмотрим, например, отображение пространства R":

(xvx2, ...,xn)^(yvy2,...,yn),

п п п

где yt = ^aikxk + bj, і = 1, 2, п. Если ^^afk < 1, то это отобраk= i= к=

жение является сжимающим.

103

Свойства сжимающих отображений:

Г. Сжимающее отображение непрерывно на всем пространстве R".

2°. Сжимающее отображение пространства R" имеет неподвижную точку, и притом единственную.

3.16. Точечно-множественные (многозначные) отображения пространства R"

Пусть V— некоторое непустое множество в R", a P(V) — множество всех подмножеств V.

Отображение F: F—> P{V) называют точечно-множественным (многозначным) отображением множества V. Это отображение каждой точке Me Fставит в соответствие одно вполне определенное непустое подмножество F(M) множества V.

Точка MQ е V является неподвижной точкой точечно-множественного отображения F: V-> P(V), если М0 е F(M0). Например, если V= {а, Ъ, с} е R1, то соответствие а -> {с}, Ь —> {а, Ь}, с —> {Ь, с) определяет точечно-множественное отображение. Точки Ъ и с являются неподвижными точками этого отображения.

Точечно-множественное отображение F: К—» P(V) называется замкнутым в точке М0 е V, если из сходимости последовательности точек множества V: Mv М2,Мк,... к точке MQ следует сходимость любой последовательности Nv N2,Nk,где Nk е F(Mk), к некоторой точке из множества F(M0).

Теорема Какутани. Пусть V— компактное выпуклое множество в пространстве R", a F: К—> P(V) — точечно-множественное отображение, удовлетворяющее следующим условиям;

а) для любой точки М е Vмножество F(M) является непустым

выпуклым подмножеством V;

б) отображение F замкнуто в любой точке множества V. Тогда

отображение F имеет неподвижную точку.

3.17. Подпространства пространства R"

Множество Р в пространстве R" называется подпространством этого пространства, когда выполняются следующие условия:

еслиМе Р, NeP и JXL = ОМ + ON,TonLe Р;

если Me Р и ОЬ = к-ОМ, где к — некоторое число, то LeP.

104

Любое подпространство пространства R" содержит точку О(0; 0;...; 0) и является выпуклым множеством.

Следующие множества являются подпространствами R":

множество, состоящее из одной точки О(0; 0;...; 0);

всё пространство R";

множество решений однородной системы линейных уравнений.

Пересечение подпространств пространства R" само является подпространством этого пространства.

Линейной оболочкой точек Мх, М2, Мк в пространстве R" называется множество всех точек М є R" таких, что

к

ОМ = ^XjOMt, 1=1

где Xv Х2,Хк — некоторые числа.

Линейная оболочка всегда является подпространством. Если подпространство Р содержит точки Мр М2,Мк, то оно содержит и всю линейную оболочку этих точек.

В любом подпространстве пространства R" существует конечное число точек, линейная оболочка которых совпадает с этим подпространством (наименьшее число точек с таким свойством называется размерностью подпространства).