4.3. ограниченные функции
4.3. ограниченные функции
Функция у = f(M), определенная на множестве V, называется ограниченной сверху (снизу), если множество принимаемых ею на V значений ограничено сверху (снизу).
Ограниченность сверху (снизу) функции у = f(M) на множестве К означает существование такого числа к, что для всех точек Мє ^выполняется неравенствоf(M) < к (f(M) > к).
Функция у = f(M) называется ограниченной на множестве V, если она ограничена на этом множестве и сверху, и снизу.
В частности, если Кявляется окрестностью некоторой точки М0, т.е. V= Sr(M0) {Me R" I p(M, MQ) < г), то говорят об ограниченности функции у -ДМ) в данной окрестности точки М0.
Если V— область определения D(f) функции у = f(M), то говорят об ограниченности функции в области определения, при этом множество значений E(f) является ограниченным множеством.
Если функция у =f(M) не ограничена сверху (снизу) на множестве V, то существует последовательность {Мк} точек, принадлежащих V(k= 1, 2, 3,...), такая, что
Нт{/(Мк)} = +оо (lim{f(Mk)} = -о).
110
О Примеры.
1. ФункцияДх) = sinx ограничена во всей области определения
D(f) ]-°°, +°°[, так как множество ее значений E(f) [-1, 1] —
множество ограниченное (-1 < sinx < 1) (см. рис. 1.13).
2. Функция f(M) —^—J ограничена лишь снизу во всей
Х-^ ~г" Х^
довательность |Affe О(0, 0) и такая, чт
/Шк) , у 1 , х у = у стремится к +°°. •
области определения D(/) = R2\{(0, 0)}, так как множество ее значений E(f) ограничено только снизу: f(M) > 0. Функция не ограничена сверху в любой окрестности точки (0, 0): существует после-( \
О(0, 0) и такая, что последовательность значений функции 1 к1
+
', к 1, 2, 3, сходящаяся к точке
Обсуждение Справочник по математике для экономистов
Комментарии, рецензии и отзывы