4.4. сложные функции (суперпозиции]

4.4. сложные функции (суперпозиции]

Пусть функция у = /(«р и2, ит) определена на некотором множестве Rm переменных uv и2,ит, а каждая из функций

«1 =gMv XV -' Xr)> U2 =S2(XV XV •"' XX "•' Um=Sm(xV XV "•» ХЛ) ОПРЄ_

делена на некотором множестве Кс R" переменныхх1; х2,хп.

Если при этом каждой точке M(xv х2, хп) є F можно поставить в соответствие точку N(uv и2, ит) є W, где i/j = g{(xv х2,

-' Хп>> U2=82(XV XV •"' Xr)> Um =8m(XV XV Xr) (CMП' L23)' TO Нй

множестве ^определяетсяфункция

У ~f(&{(.xi> Х2> •"' Хп)' ^2^Х1' Х2' '"' Хп^' ■"' &m(XV Х2' '"' Хп^'

назьшаемая сложной функцией переменных xv х2, хп или суперпозицией функций/, gv g2,gm.

В частности, если даны две функции одной переменной у = /(и), и g(x) и при этом E(g) с D(f) (множество значений функции g является подмножеством области определения функции/), то говорят о сложной функции у = f(g(x)) одной переменной X.

Например, пара функций у = 2",и = sinx задает сложную функцию у = 2smx, определенную на множестве R1 и имеющую множеством значений отрезок [1/2, 2].

111

Аналогично функция у = In cos -4= является суперпозицией

Vx

следующих функций:

у = Ыи, и = cosv, v = —, z = 4x.

Z