4.10. понятие предела функции
4.10. понятие предела функции
Пусть функция у=f{M) f(xv х2,xj определена на множестве К с R" и М0(Хр х2, х°) — предельная точка множества V (см. п. 3.5).
Имеют место два эквивалентных между собой определения предела функции:
Число Ъ называется пределом функции f(M) при М, стремящемся к М0 (Af —»MQ), если для любой последовательности точек Mv М2, Mk,где Мк е V{k1, 2, 3, ...), Мк ф MQ, сходящейся к М0, последовательность значений функции f(M^), f(M2), f{Mk),... сходится к числу Ъ. При этом пишут
Ъ lim f(M) или Ъ lim /(хих2,...,хп).
xZx°
В частности, для функции одной переменной у = f(x) число Ъ называется пределом при х —» х0, если для любой последовательности значений аргумента xv х2, хк, где хк е V, хк ф х0 (к = 1, 2, 3, ...), сходящейся к х0, последовательность значений функции Дл^), f(x2), ...,f(xk),... сходится к числу Ъ:
b = lim/(х) или /(х) -> йприх —> х0.
X^XQ
Число Ъ называется пределом функции f(M) при М-> М0, если для любого числа є > 0 можно указать такую окрестность Sr(M0) точки М0, что для всех точек Me Sr(M0) n V, Мф М0 выполняется неравенство
f(M)-b\<e.
В частности, для функции одной переменной у = f(x) число Ъ называется пределом при х -> х0, если для любого числа є > 0 можно указать такое положительное число 6, что для всех х є V, х ф х0 и удовлетворяющих условию |х х0| < 8, выполняется неравенство
|/(x)-Z>|<E.
О Примеры.
lim cos х = 1. Действительно, возьмем произвольное є > 0. Так
х->0
как |cosx -1| = 2sin2^ < например, в промежутке |х| < л/2, то,
117
положив 8 = тіп(л/2, /2є), получим, что для всех х ф 0, удовлетворяющих условию |х| < 8, выполняется неравенство |cosx 1| < є.
lim sin — не существует. Действительно, рассмотрим две пох-»0 X
следовательности {хЛ и {х'Л, где хк = —, х'к = — , к=,2,
К к nk K/l + lnk
3, которые сходятся к нулю. Последовательность значений
функции {f(xk)} сходится к нулю, так как f(xk) = sinnk = 0 при
всех к. Последовательность же {f(x'k)} сходится к единице, так как
f(x'k) = sin (л/2 + 2\%к) = 1.
X X
lim ,1 2 не существует. Действительно, рассмотрим две
последовательности точек {Мк(1/к, 1/к)} и {М'к(2/к, У к)}, сходящиеся к точке О(0, 0). Последовательность значений функции ДМ,) =/(1,1) = 1/2, ДМ2) =/(1/2, 1/2) = 1/2,ДМк) =f(l/k, l/k) = = 1/2,... сходится к 1/2, а последовательность ДМ[) = /(2, 1) = 2/5, ДМ'2) =/(1, 1/2) = 2/5, ДМ'к)=Д2/к, l/k) = 2/5, ... сходится к 2/5. •
4.11. Некоторые замечательные пределы
, ,. sinx , „ ,. tgx
1. km = 1. 2. km— = 1.
x->0 X x-»0 X
_ ,. arcsinx 1 . r arctgx ,
3. lim = 1. 4. lim — = 1.
x->0 X x-»0 X
km(l + x)1/x =e (e = 2,718...).
x->0
km15^±^ = logfle. 7. lim^^l.
x-»0 X x->0 X
a* -1 e* -1
8. lim = In a. 9. lim = 1.
x-»0 X x-»0 X
118
4.12. Свойства функций, имеющих предел
Пусть функция у=f(M) определена на множестве V.
Г. Если функция у = f(M) имеет при М-> М0 предел, то этот предел единственный.
2°. Если функция _у=ДМ) имеет при М —» М0 конечный предел, то существует окрестность S(M0) точки М0 такая, что функция f(M) ограничена в Sr(MQ) n V.
Обсуждение Справочник по математике для экономистов
Комментарии, рецензии и отзывы