4.21. свойства функций, непрерывных на множестве

4.21. свойства функций, непрерывных на множестве

Функция f(M) называется непрерывной на множестве V, если она непрерывна в каждой точке этого множества.

Г. Если функция f(M) непрерывна на ограниченном замкнутом множестве V, то она ограничена на этом множестве.

2°. Если функция f(M) непрерывна на ограниченном замкнутом множестве V, то она достигает на этом множестве как наименьшего, так и наибольшего своего значения, т.е. на множестве V

128

найдутся точки Мх и М2 такие, что f(Ml) = inf{f(M)} и f(M2) = sup{/(M)}. v

V

В частности, для функций одной переменной справедливы следующие утверждения:

а) если функция/(х) непрерывна на отрезке [а, Ь], то она ограничена на этом отрезке, т.е. существует число d такое, что |/(х)| < d

для всехх є [а, Ь];

б) если функция /(х) непрерывна на отрезке [а, Ь], то она достигает на этом отрезке как наименьшего /, так и наибольшего L

своего значения, т.е. найдутся точки хх є [а, Ь] и х2 є [а, Ь] такие,

что f(xx) = I = inf {f(x)}, fix2) = L = sup{/(x)}.

[«.*] [a, b]

Кроме указанных свойств для функций одной переменной имеют место следующие свойства:

3°. Если функция fix) непрерывна на отрезке [а, Ь] и на концах этого отрезка принимает значения разных знаков (f(a)fib) < 0), то найдется хотя бы одна точка с (а < с < Ь) такая, что /(с) = 0.

4°. Если функция fix) непрерывна на отрезке [а, Ь], то она принимает хотя бы по одному разу все промежуточные значения от наименьшего / до наибольшего L, т.е. для любого числа ц, заключенного между / и L (/ < ц < L), найдется точка с є [а, Ь] такая, что

Ас) = іі.